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Mathematische Frage

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  • Mathematische Frage

    Ich habe heute jemandem Nachhilfe gegeben in Mathe (11. Klasse Gymnasium) und dabei tauchte ein Problem auf, bei dem ich (in meinem Zustand ) nicht helfen konnte. Es ging um Funktionsscharen, genauergesagt Tangentenscharen. Und zwar war die Funktion f(x) = x³ gegeben. Zunächst sollte man die Tangente zum Punkt P (1/1) bilden und dann den Schnittpunkt S mit der Funktion (lag bei (-2/-8) (IIRC). Dann sollte man für eine x-beliebige Tangente an f(x) den Punkt S in Abhängigkeit von XB (B tiefgestellt) angeben, wobei XB eben die Stelle der Tangente sein sollte (XB=0 war ausgeschlossen -> waagrechte Tangente). Ich hab keinen blassen Schimmer, das zu lösen ist und ich soll versuchen, ihr es am Montag nochmals zu erklären...

    Kann mir jemand helfen?
    Für meine Königin, die so reich wäre, wenn es sie nicht gäbe ;)
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  • #2
    Ich habe leider keine Ahnung davon aber mal was gesucht:Punktsteigungsformel

    Wenn das nicht das richtige ist dann guck mal hier:Funktionsgraph

    Wie man das rechnet weiß ich nicht. Ich hatte mal Kurvendiskussion in der Oberstufe der Berufsfachschule aber das meiste wieder vergessen.

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    • #3
      Auch für mathematische Fragen eignet sich das Forum unter www.chemieonline.de hervorragend

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      • #4
        Dann wollen wir mal:
        Ich bin mir nicht sicher, ob du P(-2/-8) jetzt schon selbst berechnet hast, oder dies eine Vorgabe war. Daher gebe ich den Rechenweg dafür einfach mal mit an bevor ich zum nächsten Problem komme:
        - 1. Ableitung von f(x)=x³ bilden (f'(x)=3x²) um den Anstieg der Tangente herauszubekommen
        - den Anstieg für x=1 berechnen f'(1)=3
        - den Punkt P(1/1) und den Anstieg m=3 in die allgemeine Formel für ne Gerade y=mx+n einsetzen
        - man erhält die Tangente g(x)=3x-2
        - jetzt g(x) mit f(x) gleichsetzen x³=3x-2, umstellen 0=x³-3x+2
        - da ein Schnittpunkt der beiden Funktionen bekannt ist P(1/1), kann ich Polynomendivision durchführen (x³-3x+2) : (x-1)=x²+x-2
        - x²+x-2=0 mit Lösungsformel für quadratische Gleichungen ausrechnen und fertig
        Ich erhalte zwei Lösungen x1=-2 und x2=1. Die Punkte in f(x) oder g(x) einsetzen und fertig. Man erhält den bekannten Punkt P(1/1) und den Schnittpunkt S(-2/-8)

        Als Nächstes soll dann der allgemeine Fall für eine Tangente an der Stelle x=xB betrachtet werden. Wenn wir xB in f(x) einsetzen erhalten wir also den Punkt P(xB/xB³). An diesem soll die Tangente anliegen. Man geht nun genauso vor wie oben:
        - xB in die erste Ableitung von f'(x) einsetzen. Der Anstieg ist also m=3xB²
        - aus der allgemeinen Geradengleichung folgt xB³=3xB²*xB+n; n=-2xB³; man erhält die Tangente g(x)=(3xB²)x-2xB³
        - gleichsetzen von g(x) mit f(x) und etwas umstellen, man erhält 0=x³-(3xB²)x-2xB³
        - es gibt eine bekannte Lösung nämlich x=xB
        - jetzt wieder Polynomendivision (x³-(3xB²)x-2xB³) : (x-xB)=x²+(xB)x-2xB²
        - 0=x²+(xB)x-2xB² mit Lösungsformel ausrechnen und man erhält zwei Lösungen x1=xB und x2=-2xB
        - Die Punkte in f(x) oder g(x) einsetzen und man bekommt den bekannten Punkt P(xB,xB³) und den allgemein gültigen Schnittpunkt S in Abhängigkeit von xB S(-2xB/-8xB³) heraus.

        Ich hoffe, es ist einigermaßen nachvollziehar. Es mag durchaus sein, dass man den Spaß noch einfacher herleiten kann, aber so sah mein Rechenweg aus.
        Für einen Euro durch die Spree, nächstes Jahr am Wiener See. - Treffen der Generationen 2013
        "Hey, you sass that hoopy Ford Prefect? There's a frood who really knows where his towel is." (Douglas Adams)

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        • #5
          Coole Erklärung!

          Den oberen Teil habe ich gut verstanden, den unteren nicht mehr. Obwohl unten das Prinzip fast das selbe ist ----->Ableitung------>Polynomdivison----->einsetzen. Weiß net was Xb ist.

          Aber Spocky wird das wohl checken.

          Ich hoffe, es ist einigermaßen nachvollziehar. Es mag durchaus sein, dass man den Spaß noch einfacher herleiten kann, aber so sah mein Rechenweg aus.
          Für die einen Spaß und für die anderen Leid.

          Mußt du bei Wirtschaftsinformatik viel rechnen? Bei "normaler" Informatik soll das ganz schön heftig sein.

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          • #6
            Zitat von Skymarshall
            Weiß net was Xb ist.
            xB ist einfach eine Konstante. Statt einer Zahl, setzt du für x eben xB ein und rechnest dann normal weiter. Man hätte statt xB genausogut a oder t nehmen können, wie es bei irgendwelchen Kurvenscharen eigentlich üblich ist.
            Am Ende kannst du dadurch den zweiten Schnittpunkt S einer jeden Tangente g(x) mit f(x) berechnen, wobei g(x) einem beliebigen Punkt P auf f(x) anliegt. xB=1 in S(-2xB/-8xB³) eingesetzt, erhält man eben genau S(-2/-8), was konsequenterweise mit der Lösung aus dem ersten Problem übereinstimmt.

            Zitat von Skymarshall
            Mußt du bei Wirtschaftsinformatik viel rechnen?
            Der Anteil an Mathematik im Studium ist schon recht hoch und die zu lösenden Aufgaben meistens nicht gerade banal. Allerdings sind wir noch weit von den Problemen entfernt, mit denen sich Physiker oder ähnliche Konsorten alltäglich herumschlagen dürfen.
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            • #7
              @ Ford Prefect: Vielen Dank
              Den ersten Teil hatte ich ihr noch selbst erklären können und beim 2. War ich bis zur Steigung gekommen. Allerdings hatten mich dann die xBs gewundert nach 2h Erklärungen und Saufen am Vortag hatte ich Kopfschmerzen und wusste nicht, ob ich die Teile in der Gleichung dann noch xB oder x zu nennen hatte. Ich hätte mich aber nicht von den Buchstaben verunsichern lassen dürfen
              Für meine Königin, die so reich wäre, wenn es sie nicht gäbe ;)
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              • #8
                Zitat von Skymarshall
                Mußt du bei Wirtschaftsinformatik viel rechnen? Bei "normaler" Informatik soll das ganz schön heftig sein.
                Das muss ich leider bestätigen.
                Why do you like metal: It's the most honest music form, and it communicates directly with my heart. (Joacim Cans, HammerFall)

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                • #9
                  Zitat von Skymarshall
                  Mußt du bei Wirtschaftsinformatik viel rechnen? Bei "normaler" Informatik soll das ganz schön heftig sein.
                  Ja und ja.
                  Ich als Rein-Informatikstudent hab in Mathe doch arge Probleme, hab auch die Prüfung net bestanden, obwohl ich sonst in Mathe immer ganz gut dabei bin.
                  Und die WIler habens mit Mathe auch nicht leicht, haben das erste Semester mit denen zusammen gehabt. Nur geht es da auch noch eher in Finanzmathematische Dinge hinein, würde ich meinen.
                  Sorans Fußballblog - Einblicke in die Welt des Fußballs - Spielberichte, Fotos und mehr. :)
                  Mein Videokanal - Supportvideos vom Fußball

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                  • #10
                    Zitat von Ford Prefect
                    xB ist einfach eine Konstante. Statt einer Zahl, setzt du für x eben xB ein und rechnest dann normal weiter. Man hätte statt xB genausogut a oder t nehmen können, wie es bei irgendwelchen Kurvenscharen eigentlich üblich ist.
                    Am Ende kannst du dadurch den zweiten Schnittpunkt S einer jeden Tangente g(x) mit f(x) berechnen, wobei g(x) einem beliebigen Punkt P auf f(x) anliegt. xB=1 in S(-2xB/-8xB³) eingesetzt, erhält man eben genau S(-2/-8), was konsequenterweise mit der Lösung aus dem ersten Problem übereinstimmt.
                    Ok. Das ist verständlich. Von Scharen hatte ich noch nie etwas gehört. Ausser von Vogelscharen in "die Vögel".......

                    Der Anteil an Mathematik im Studium ist schon recht hoch und die zu lösenden Aufgaben meistens nicht gerade banal. Allerdings sind wir noch weit von den Problemen entfernt, mit denen sich Physiker oder ähnliche Konsorten alltäglich herumschlagen dürfen.
                    Also dann machen Physiker und reine Mathematiker noch heftigere Sachen?

                    Ist ja krass. Naja, wenn man an diesen Tensor-Quatsch und mathematische Beweise denkt, wo kein normaler Mensch mehr durchblickt!

                    @Soran&Frank Grimes: Mein Beileid!

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                    • #11
                      Oh ja, so wird mir wieder einmal klar, wieviel Zeit ins Land gegangen ist. Bei mir tauchen wirklich nur Fragmente dieses für mich mathematischen Mysteriums auf. Das war alles mal viel leichter!
                      "Education is the most powerful weapon which you can use to change the world."Nelson Mandela
                      DEUTSCHE AIDS-HILFE-DRK
                      ÄRZTE OHNE GRENZEN-AMNESTY INTERNATIONAL DEUTSCHLAND

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                      • #12
                        Zitat von Skymarshall
                        Also dann machen Physiker und reine Mathematiker noch heftigere Sachen?

                        Ist ja krass. Naja, wenn man an diesen Tensor-Quatsch und mathematische Beweise denkt, wo kein normaler Mensch mehr durchblickt!
                        Die Aufgabe hier war nun nix kompliziertes, sowas macht man im Mathe LK dutzend Fach. Bis zum Abiturniveau fehlt da noch ne Ecke.
                        Auch Sachen wie "Beweis durch vollständige Induktion" sollten für einen Mathe LK kein Problem darstellen, was nicht heißen soll, dass das mein spezial Gebiet ist.

                        Richtig schöne Aufgaben fangen dann z.B. im Bereich komplexe Zahlen an, daran lässt sich schön verzweifeln. Bin ich echt froh nur Grundlagen in Elektrotechnik gesehen zu haben.
                        »Ich habe nie eine Chance hastig vergeben, sondern lieber gemütlich vertändelt.« - Willi »Ente« Lippens

                        Läuft!
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                        • #13
                          Zitat von Nopper
                          Die Aufgabe hier war nun nix kompliziertes, sowas macht man im Mathe LK dutzend Fach. Bis zum Abiturniveau fehlt da noch ne Ecke.
                          Auch Sachen wie "Beweis durch vollständige Induktion" sollten für einen Mathe LK kein Problem darstellen, was nicht heißen soll, dass das mein spezial Gebiet ist.
                          Wenn man das regelmäßig übt dann dürfte es auch kein Problem sein. Zumindest das mit den Funktionen. Und man sollte ein wenig Begabung und Spaß dran haben!

                          Richtig schöne Aufgaben fangen dann z.B. im Bereich komplexe Zahlen an, daran lässt sich schön verzweifeln. Bin ich echt froh nur Grundlagen in Elektrotechnik gesehen zu haben.
                          Was für komplexe Zahlen? Wie sehen die aus?

                          Also Elektrotechnik hatte ich wärend meiner Umschulung zum Mechatroniker. Ist natürlich nicht mit dem Studium zu vergleichen aber Grundlagen würden ich schon sagen.

                          Ohmische Gesetz, Kirchhoffsche Regel, Paralell/Reihenschaltungen, Kondensatoren, Transformatoren(Induktion,Magnetfelder), Wechselstrom/Gleichstrom, Drehstrom und auch logische Schaltungen(Gatter/Konverter).

                          Da hatte man seine Formelsammlung und Aufgaben bekommen. Dann einfach geguckt was gesucht wird, umgestellt und Zahlen eingesetzt. Manchmal mußte man über andere Formeln herleiten. Ansonsten einfacher als Funktionen finde ich.

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                          • #14
                            Sogar im Grundkurs werden solche Aufgaben gestellt. Ich gebe meiner Freundin in Mathe auch immer ein paar Denkanstöße und daher weiß ich auch, was im GK so alles dran kommt.
                            Mit Unbekannten zu rechnen ist nun wirklich nicht dem LK vorbehalten.
                            "Es ist immer alles lustig, bis einer ein Auge verliert und dann will es wieder keiner gewesen sein."

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                            • #15
                              Zitat von Skymarshall
                              Was für komplexe Zahlen? Wie sehen die aus?

                              Also Elektrotechnik hatte ich wärend meiner Umschulung zum Mechatroniker. Ist natürlich nicht mit dem Studium zu vergleichen aber Grundlagen würden ich schon sagen.

                              Ohmische Gesetz, Kirchhoffsche Regel, Paralell/Reihenschaltungen, Kondensatoren, Transformatoren(Induktion,Magnetfelder), Wechselstrom/Gleichstrom, Drehstrom und auch logische Schaltungen(Gatter/Konverter).

                              Da hatte man seine Formelsammlung und Aufgaben bekommen. Dann einfach geguckt was gesucht wird, umgestellt und Zahlen eingesetzt. Manchmal mußte man über andere Formeln herleiten. Ansonsten einfacher als Funktionen finde ich.
                              Komplexe Zahlen bestehen aus Real- und Imaginärteil und sehen genauso aus wie normale Zahlen.
                              Das ganze hat die Normalform z = a + ib wobei a der Real- und b der Imaginärteil ist, gekennzeichnet durch das i bzw. in der E-Tech durch ein j.
                              Es gibt dann noch Trigonometrische- (ż = |z| * (cosφ ± sinφ ) und Exponentialform (ż = |z| * e^±jφ ). Zum rechnen wird dann die Normal und Exponentialform verwendet, die Trigonometrische ist nur zum umwandeln.

                              Beigebracht bekommen hab ich das im Bereich Wechselstrom-/Automatisierungstechnik (AMT). Der Wechselstrom macht es halt notwendig so zu rechnen damit es richtig wird.

                              Was deine Erfahrungen im Berech E-Tech angeht, naja Grundlagen E-T ist schon vglw. einfach, wenn es dann aber um AMT, Digitaltechnik etc. pp. geht wird es dann sehr viel komplexer und schwieriger.

                              PS:
                              AMT kann ich auch niemandem ans Herz legen, der kram is einfach nur dumm.
                              »Ich habe nie eine Chance hastig vergeben, sondern lieber gemütlich vertändelt.« - Willi »Ente« Lippens

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