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Spockys Rechenspielerei

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  • Spockys Rechenspielerei

    Irgendwann mal, als ich noch in der Schule war, hat mich interessiert, ob die Potenzzahlen alle in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Angefangen habe ich mit den Quadraten, wobei mir auffiel, dass die Differenzen der Quadrate immer um 2 zunehmen.

    Beispiel: 2² - 1² = 3; 3² - 2² = 5; 4² - 3² = 7 usw. Mir war klar, da muss ein System dahinterstecken, also habe ich eine allgemeine Formel aufgestellt:
    (x + 1)² - x² =

    Und dann hab ich losgerechnet:
    x² + 2x + 1 – x²

    Die x² kürzen sich dabei heraus und es bleibt:
    2x+1

    So war meine erste selbstentdeckte Formel (x + 1)² - x² = 2x + 1 geboren und ich dachte mir, ich mach daraus auch gleich einen Merksatz. Durch umformen fiel mir auf, dass man ja (x) + (x+1) draus machen konnte, also die beiden Basen einfach nur zu addieren brauchte. Daraus ergab sich mein Merksatz:
    Die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen ist gleich der Summe ihrer Basen!

    Danach habe ich die Rechnung noch auf ganz allgemein erweitert:
    (x + n)² - x² = 2nx + n² = n(2x + n) = n[(x) + (x+n)]

    Die Differenz zweier beliebiger Quadratzahlen entspricht also dem n-fachen ihrer Summe.

    Als nächstes habe ich versucht, die Gleichung ganz allgemein für alle Potenzen zu erstellen, was dann folgendes ergab:
    (x + n)^m – x^m
    Für x, n, m € N (man verzeihe mir den Missbrauch des €-Zeichens, aber das ist noch das ähnlichste, was ich grad bei der Hand hab )

    Damals hatte noch nichts vom Logarithmus gehört, deshalb konnte ich die Gleichung nicht lösen, aber wie mir gerade auffällt, sollte das ja möglich sein. Gut, werde ich am Ende meiner Ausführungen drauf zurück kommen.

    Ich ging also zu dem Schritt zurück, mit dem ich das ganze begonnen hatte und schaute nach Auffälligkeiten. Ich bemerkte, dass es bei der dritten Potenz nicht so klappte, wie ich es erhofft hatte. Die Differenz der Abstände stieg an und war nicht identisch, wie bei den Quadraten. als ich mir aber einen Differenzenbaum aufzeichnete, merkte ich, dass ich nur eine Differenz mehr bilden musste, um eine gleichbleibende Lösung zu erhalten. Sogleich fing ich an, das ganze für immer mehr Potenzen zu erstellen:

    1
    2 -> 1
    3 -> 1
    4 -> 1
    5 -> 1

    1² = 1
    2² = 4 -> 3 -> 2
    3² = 9 -> 5 -> 2
    4² = 16 -> 7 -> 2
    5² = 25 -> 9 -> 2

    1³ = 1
    2³ = 8 -> 7
    3³ = 27 -> 19 -> 12 -> 6
    4³ = 64 -> 37 -> 18 -> 6
    5³ = 125 -> 61 -> 24 -> 6
    6³ = 216 -> 91 -> 30 -> 6

    1^4 = 1
    2^4 = 16 -> 15
    3^4 = 81 -> 65 -> 50
    4^4 = 256 -> 175 -> 110 -> 60
    5^4 = 625 -> 369 -> 194 -> 84 -> 24
    6^4 = 1296 -> 671 -> 302 -> 108 -> 24

    1^5 = 1
    2^5 = 32 -> 31
    3^5 = 243 -> 211 -> 180
    4^5 = 1024 -> 781 -> 570 -> 390
    5^5 = 3125 -> 2101 -> 1320 -> 750 -> 360
    6^5 = 7776 -> 4651 -> 2550 -> 1230 -> 480 -> 120
    7^5 = 16807 -> 9031 -> 4380 -> 1830 -> 600 -> 120

    (Die Zahlen hinter den Pfeilen sind jeweils die Differenz zwischen dem Ergebnis in dieser Zeile und dem Ergebnis in der Zeile darüber)

    Und immer so weiter. Mir stach ins Auge, dass überall jeweils als n. Differenz innerhalb der Bäume gleich war. Als nächstes habe ich mir angeschaut, nach welchem System die letzte Zahl jeweils aufgebaut ist und mir fiel auf, dass es die Fakultäten waren, 2!, 3!, 4!, 5! usw.

    Um das ganze in eine mathematische Form zu bringen, habe ich die Bäume in eine mathematische Form zu bringen, um etwas handfestes zu haben.

    Übersetzt man den Baum der zweiten Potenz in eine mathematische Rechnung ergibt sich folgendes:

    [(x + 2)² - (x + 1)²] - [(x + 1)² - x²] =
    (x + 2)² - 2(x + 1)² + x² =
    x² + 4x + 4 - 2x² - 4x - 2 = 2 = 2!

    Analoges gilt für die Übersetzung des Baumes in der dritten Potenz:

    {[(x + 3)³ - (x + 2)³] - [(x + 2)³ - (x + 1)³]} - {[(x + 2)³ - (x + 1)³] - [(x + 1)³ - x³]} =
    1(x + 3)³ - 3(x + 2)³ + 3(x + 1)³ - 1x³ =
    1(x³ + 9x² + 27x + 27) - 3(x³ + 6x² + 12x + 8) + 3(x³ + 3x² + 3x + 1) - x³ =
    x³ + 9x² + 27x + 27 - 3x³ - 18x² - 36x - 24 + 3x³ + 9x² + 9x + 3 - x³ = 6 = 3!

    [Beachte hierbei: (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3 ab² + b³]
    [Für höhere Potenzen siehe jeweils beim Pascalschen Dreieck]

    Für die noch höheren Potenzen lass ich mal die ersten Schritte Weg. Wer es selbst ausprobieren möchte, kann das ganze ja in dem Stil weiterführen. (Zur Überprüfung für den Selbstversuch: Es muss pro höhere Potenz jeweils eine Rechnung mit doppelt so vielen Gliedern vorkommen).

    1(x + 4)^4 - 4(x + 3)^4 + 6(x + 2)^4 - 4(x + 1)^4 + x^4 = 24 = 4!
    1(x+5)^5 - 10(x + 4)^5 + 15(x + 3)^5 - 15(x + 2)^5 + 10(x + 1)^5 - 1x^5 = 120 = 5!

    Die Zahlen vor den Klammern spiegeln wieder die Zahlen des Pascalschen Dreiecks wider, wobei das erste Glied immer positiv, das zweite immer negativ ist. Wer weiterrechnen will, das ganze stimmt für alle ganzzahligen nichtnegativen Potenzen (also inklusive 0 und 1).
    Daraus lässt sich allgemein ableiten:

    1(x + n)^n -n(x + n - 1)^n + ... - n(x + 1)^n + x^n = n! für gerade Zahlen
    1(x + n)^n - n(x + n - 1)^n + ... + n(x + 1)^n - x^n = n! für ungerade Zahlen

    Leider konnte ich auf diese Weise keinen allgemeingültigen Satz aufstellen. Ich konnte zwar stets zeigen, dass die Sätze für jede Potenz, bei der ich es versuchte stimmten, aber ich konnte mit keiner Rechnung zeigen, dass die Sätze wahr sind. Ich habe dann versucht, über das Pascalsche Dreieck Beweise aufzustellen, indem ich versuchte, allgemeingültige Vorhersagen darüber machen zu können. Geklappt hat es letztendlich nicht, aber ich bin auf weitere nette Spielereien gestoßen.

    Übrigens zeigt das Pascalsche Dreieck wunderschön die Potenzen von 11:
    11^0 = 1
    11^1 = 11
    11^2 = 121
    11^3 = 1331
    11^4 = 14641

    Ab 11^5 wird’s schwierig, weil durch die Zehnen eine Verschiebung erfolgt. Sagt man aber, man hat 1 Einer, 5 Zehner, 10 Hunderter, 10 Tausender, 5 Zehntausender und 1 Hunderttausender, so erhält man 161051 und das ist wiederum 11^5. Genauso schauts mit allen höheren Potenzen von 11 aus. Übrigens lassen sich noch weit mehr Spielereien mit dem Pascalschen Dreieck machen, aber das würde jetzt zu weit führen und ihr sollte gerne auch mal selbst was ausprobieren .

    Wie oben ja erwähnt, fiel mir grad wieder auf, dass ich den Ansatz jetzt ja vielleicht doch noch lösen kann. Leider habe ich dann, als ich den Logarithmus schon kannte, immer nur ab meinen letzten erreichten Erkenntnissen weitergemacht und bin nie wieder zum Ansatz zurück, bis heute, wo ich das ganze aufschreibe – leider habe ich jetzt keine Übung mehr im Logarithmieren, also korrigiert mich bitte, falls ich etwas falsch mache. Meine Erwartung ist, dass ich auf etwas komme, das mir die Fakultäten liefert, also mal sehen:

    (x + n)^m – x^m |log
    log[(x + n)^m – x^m]

    Grübelgrübel, ist das nicht dasselbe, wie

    log(x+n)^m/log(x)^m ?

    Das ist dann m*log(x+n)/m*log(x) = log(x+n)/log(x)

    Hm, jetzt ist mir meine Potenz (m) flöten gegangen, was bedeuten würde, dass es unabhängig davon ist. Kann das sein?

    Achja, meine obigen Rechnungen waren ja stets für m = n und das n ist ja noch da, also so gesehen auch noch meine Potenz

    log(x+n)/log(x) da haben wir ja wieder so was log(x+n) dürfte (wenn das vorherige stimmt) log(x)*log(n) sein.

    Dann haben wir jetzt log(x)*log(n)/log(x)

    Da bliebe ja nur log(n), wenn man das kürzt. Darf man das? Hab ich einen anderen Fehler gemacht, oder ist log(n) wirklich gleich n! ?

    Ach nee, halt, das hat ja jetzt mit der n-ten Differenz nix zu tun. Naja, auf jeden Fall ne nette Spielerei. Vielleicht weiß ja jemand von euch noch einen Ansatz, wie ich das ganze noch ausbauen kann .

    Irgendwo muss wohl noch ein Fehler drin sein, weil log(n) ist ja noch eine Konstante und die Differenz ist ja definitiv nicht konstant, also zeigt mir bitte wer, was nicht stimmt und am besten auch gleich die richtige Lösung der Gleichung? *liebguck*
    Für meine Königin, die so reich wäre, wenn es sie nicht gäbe ;)
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  • #2
    Eigentlich müsste ich nen Knüppel nehmen und dir den 10 mal über den Pelz ziehen.

    Ich habe echt nur die Hälfte verstanden(was z.T auch am Alkohol liegt). Ok, du hast das System der benachbarten Basen entdeckt und auf weitere Potenzen ausgebaut. Das mit den Differenzen(Quadrat vom vorigen Quadrat abziehen) und den Nachfolgenden Reihen habe ich verstanden. Dann pascalsche Dreieck(kommt mir irgendwie bekannt vor ) usw.

    Mit Logarythmus kenne ich mir gar nicht aus. Aber vielleicht kann man das ja über Folgen erklären. Das hatte ich mal in der Schule irgendwann. Also lineare Folgen und unlineare Folgen. Demnach wäre das bei den Potenzen linear.

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    • #3
      Nene, also mit Folgen hat das gar nichts zu tun, da beim Logarithmus ja die Zunahme abnimmt und zwar nicht in einem direkt mit Addition und Multiplikation erreichbaren Maß

      Ansonsten lies das ganze einfach noch mal, wenn der Alkohol raus ist
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      • #4
        Zitat von Spocky
        Nene, also mit Folgen hat das gar nichts zu tun, da beim Logarithmus ja die Zunahme abnimmt und zwar nicht in einem direkt mit Addition und Multiplikation erreichbaren Maß
        Naja, du hast doch gesagt das dein n nicht mit den Logarithmus zuammenpasst.


        Ehrlich gesagt blicke ich nicht mal durch deine erste Formel richtig durch.

        (x + 1)² - x² = 2x+1

        Die Auflösung ist mir klar nur warum so?

        X ist die Basis oder was. Die + 1?


        3²-2² = 5


        kann man da nicht schreiben:

        x³-y² = x+y ?

        Also

        3³-2² =5

        9-4 = 5


        oder

        n³-n² = n+n ???^

        n^m-n^m = n+n verallgemeinert?




        Oder ist das wieder die Sache mit Äpfeln und Birnen? Aber wenn ich Zahlen einsetze nicht mehr.


        Ansonsten lies das ganze einfach noch mal, wenn der Alkohol raus ist
        Hat nicht viel gebracht!
        Zuletzt geändert von Skymarshal; 03.06.2005, 13:01.

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        • #5
          x ist die eine Basis. die nächste Zahl erreicht man, indem man 1 dazuzählt, also x+1. x+1 ist also die nächste ganze Zahl, wenn man x€N annimmt.

          Du bringst irgendwie dauern ³ und ² durcheinander. Es geht jedes Mal um dieselbe Potenz. Wenn du beide Basen n nennst, hast du ja keine Unterscheidung mehr. Wenn du beide Zahlen komplett unterschiedlich nennst, hast du keine Vergleichsmöglichkeit mehr. Man muss die Zahlen in Abhängigkeit voneinander benennen, also die eine beispielsweise X und die andere in Abhängigkeit von X (X muss im Term vorkommen), also X+1 oder X+n.
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          • #6
            (x + 1)² - x² = 2x+1

            (x+1)² ist eine Binomische Formel deren Ergebnis x²+2x+1 ist. Subtrahiert man nun x² erhält man das obige Ergebnis von 2x+1.

            Weiter gelten Potenzgesetze:
            Potenzen werden addiert/subtrahiert in dem man jede Potenz ausrechnet und die Ergebnisse addiert/subrahiert.

            Dein 3³ - 2² = 5 bzw. 3+2 = 5 mag zwar bei dem Fall funktionieren, das ganze muss aber für jede beliebige Zahl ebenso klappen. 5³-4² = 109 und nicht 5+4.
            »Ich habe nie eine Chance hastig vergeben, sondern lieber gemütlich vertändelt.« - Willi »Ente« Lippens

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            • #7
              3³ ist übrigens auch 27 und nicht 9

              Das funktioniert also so und so nicht
              Für meine Königin, die so reich wäre, wenn es sie nicht gäbe ;)
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              • #8
                Ups hast ja recht. Ich war bei 3², was 9 wäre. Kleiner Aufmerksamkeitsfehler.
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                • #9
                  Zitat von Spocky
                  x ist die eine Basis. die nächste Zahl erreicht man, indem man 1 dazuzählt, also x+1. x+1 ist also die nächste ganze Zahl, wenn man x€N annimmt.
                  Und wo bleibt die Potenz? (x+1)²? Wo allem was ist mit den Potenzen in verschiedener Höhe?


                  Du bringst irgendwie dauern ³ und ² durcheinander. Es geht jedes Mal um dieselbe Potenz. Wenn du beide Basen n nennst, hast du ja keine Unterscheidung mehr. Wenn du beide Zahlen komplett unterschiedlich nennst, hast du keine Vergleichsmöglichkeit mehr.
                  Ja stimmt schon.

                  Man muss die Zahlen in Abhängigkeit voneinander benennen, also die eine beispielsweise X und die andere in Abhängigkeit von X (X muss im Term vorkommen), also X+1 oder X+n.
                  Ok!

                  Also für n kann ich ein beliebige Menge einsetzen?


                  Zitat von Nopper
                  (x + 1)² - x² = 2x+1

                  (x+1)² ist eine Binomische Formel deren Ergebnis x²+2x+1 ist. Subtrahiert man nun x² erhält man das obige Ergebnis von 2x+1.
                  Jaja, das habe ich längst verstanden.

                  Nur ist das Ergebniss auch keine Regel die man auf andere Potenzen anwenden kann.

                  2x+1 hat doch gar nicht hiermit zu tun 3²-2²=5.

                  2*3+1 = 7 ???


                  Dein 3³ - 2² = 5 bzw. 3+2 = 5 mag zwar bei dem Fall funktionieren, das ganze muss aber für jede beliebige Zahl ebenso klappen. 5³-4² = 109 und nicht 5+4.
                  Bei 4²-3²=7 funktioniert es auch. Also das funktioniert nur bei 2´er Potenzen.

                  Bei 4³-3³ = 7 wieder nicht.

                  Keine Ahnung.

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                  • #10
                    Zitat von Skymarshall

                    2x+1 hat doch gar nicht hiermit zu tun 3²-2²=5.
                    Doch, na klar...die allgemeine Formel ist doch (x+1)^2 - x^2 =...
                    Wenn man da für x die Zahl 2 winsetzt bekommt man 3^2-2^2 und das ist gleich fünf, was man auch gleich mit der Formel 2x +1 =5 hätte ausrechnen können.

                    (wie macht man denn diese ^2 und ^3???)

                    Zitat von Skymarshall
                    2*3+1 = 7 ???
                    Ja, hier ist natürlich x=3 gewählt, das heißt in der Ursprungsformel hat man nun zu stehen
                    (3+1)^2 -3^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 =7

                    Also die Formel 2x+1 erspart tlw. schon Rechnung.

                    Zitat von Spocky
                    (x + n)^m – x^m |log
                    log[(x + n)^m – x^m]

                    Grübelgrübel, ist das nicht dasselbe, wie

                    log(x+n)^m/log(x)^m ?
                    nein, wenn überhaupt wäre das dann IMO log{(x+n)^m/x^m}, aber ich fürchte, dass man log[(x + n)^m – x^m] nicht weiter sinnvoll vereinfachen kann.

                    Zitat von Spocky
                    Das ist dann m*log(x+n)/m*log(x) = log(x+n)/log(x)

                    Hm, jetzt ist mir meine Potenz (m) flöten gegangen, was bedeuten würde, dass es unabhängig davon ist. Kann das sein?
                    rechnet man mit meiner Formel weiter passiert folgendes:

                    log{(x+n)^m/x^m} = log{{(x+n)/x}^m}= m* log{(x+n)/x}

                    und noch weiter gerechnet folgt:
                    m* log{(x+n)/x} = m* log{x+n-x} = m*log{n}

                    Also im Endeffekt würde dann rauskommdn:

                    (x + n)^m – x^m = m*log{n}

                    Das macht aber schon bei n=1 keinen Sinn, weil dann die rechte Seite 0 wäre, was ja nicht der Fall ist.

                    Der Grund ist wirklich, dass man die obige Log-Formel schon nicht sinnvoll vereinfachen kann. Also das geht bestiommt irgendwie schon (so mit vollständiger Induktion irgendwie vielleicht), aber das ist dann IMO schon etwas komplizierter.
                    Zuletzt geändert von notschefix; 04.06.2005, 15:01.
                    "Also wahrscheinlich werde ich heute abend defnitiv nicht zurückschreiben können..."
                    "Da werd' ich vielleicht wahrscheinlich ganz sicher möglicherweise definitiv mit klarkommen."

                    Member der NO-Connection!!

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                    • #11
                      Zitat von notschefix
                      Doch, na klar...die allgemeine Formel ist doch (x+1)^2 - x^2 =...
                      Wenn man da für x die Zahl 2 winsetzt bekommt man 3^2-2^2 und das ist gleich fünf, was man auch gleich mit der Formel 2x +1 =5 hätte ausrechnen können.

                      (wie macht man denn diese ^2 und ^3???)



                      Ja, hier ist natürlich x=3 gewählt, das heißt in der Ursprungsformel hat man nun zu stehen
                      (3+1)^2 -3^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 =7

                      Also die Formel 2x+1 erspart tlw. schon Rechnung.
                      Danke ich habe es wohl endlich gecheckt.


                      die ² und ³ macht man mit Alt Gr und 2 u. 3.

                      Leider geht das mit mehr Zahlen wohl nicht.


                      PS: Wo sind die andere Sachen die da standen? Mit m und log? Korrigieren?

                      Das kann mir auch mal einer bei Gelegenheit näher bringen...


                      Ich verstehe die Erweiterungen mit n, m und log nicht wirklich. Ist das um es noch allgemeiner zu machen? Also für alle Potenzen?


                      Edit: Was ist Exponentialfunktion?

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                      • #12
                        Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion bei der die Variable x im Exponenten einer Potenz vorkommt.
                        Sprich f(x) = 3^x wäre eine Exponentialfunktion.

                        Am häufigsten ist die natürliche Exponentialfunktion anzutreffen, deren Graph im Punkt (0/1) die Steigung 1 hat. Die Basis dieser Funktion ist die Euler'sche Zahl e = 2,71828...

                        Sprich f(x) = e^x ; f(x) = e^1/2x ; f(x) = 2e^-3/2x usw.

                        Wenn du langeweile hast kannst du die Euler'sche Zahl mit der Zahlenfolge (1+1/n)^n auch mal näher bestimmen. Dabei einfach den Wert für n immer größer Wählen.

                        Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion wäre dann die Logarithmusfunktion.
                        »Ich habe nie eine Chance hastig vergeben, sondern lieber gemütlich vertändelt.« - Willi »Ente« Lippens

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                        • #13
                          Um mal zur Fragestellung zu kommen:
                          Wir suchen also eine allgemein gültige Formel die uns y^m-x^m mit y=x+n, wobei x,y,m,n Element N gilt, einfacher ausrechnet als (x + n)^m – x^m. Richtig?

                          Ich würde einfach mal behaupten, es gibt keine. Wir sollten ja zumindest in der Lage sein für m=3 die Formel (n+x)³-x³ zu vereinfachen, aber ich sehe selbst hier schon keine sinnvolle Lösung mehr. Ausgerechnet ergebe sich ja n³+3n²x+3x²n und wenn ich hier alles ausklammere was geht bekomme ich n(n²+3x(n+x)) raus, was imo deutlich komplexer ausschaut als (n+x)³-x³.

                          Ich denke es ist unwahrscheinlich, dass sich bei höherpotenzigen Formeln da plötzlich irgendein einfacheres Muster ergibt.
                          Für einen Euro durch die Spree, nächstes Jahr am Wiener See. - Treffen der Generationen 2013
                          "Hey, you sass that hoopy Ford Prefect? There's a frood who really knows where his towel is." (Douglas Adams)

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                          • #14
                            Zitat von Skymarshall
                            Und wo bleibt die Potenz? (x+1)²? Wo allem was ist mit den Potenzen in verschiedener Höhe?
                            Es ging ja jetzt erstmal darum zu zeigen, was x, bzw. x+1 oder x+n bedeutet. Die Potenzen ändern sich ja, aber der Teil bleibt immer gleich

                            Also für n kann ich ein beliebige Menge einsetzen?
                            Jede beliebige natürliche Zahl.

                            @ Notschefix: Danke für den Versuch
                            Für meine Königin, die so reich wäre, wenn es sie nicht gäbe ;)
                            endars Katze sagt: “nur geradeaus” Rover Over
                            Klickt für Bananen!
                            Der süßeste Mensch der Welt terra.planeten.ch

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                            • #15
                              Zitat von Nopper
                              Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion bei der die Variable x im Exponenten einer Potenz vorkommt.
                              Sprich f(x) = 3^x wäre eine Exponentialfunktion.

                              Am häufigsten ist die natürliche Exponentialfunktion anzutreffen, deren Graph im Punkt (0/1) die Steigung 1 hat. Die Basis dieser Funktion ist die Euler'sche Zahl e = 2,71828...

                              Sprich f(x) = e^x ; f(x) = e^1/2x ; f(x) = 2e^-3/2x usw.
                              Hast du hier für das x in der Potenz einfach die Schnittpunkte eingesetzt?

                              Oder ist das irgendwie ne Ableitung? Aber dann würde dann doch F(x)´ stehen oder? Oder g(x)?


                              Wenn du langeweile hast kannst du die Euler'sche Zahl mit der Zahlenfolge (1+1/n)^n auch mal näher bestimmen. Dabei einfach den Wert für n immer größer Wählen.
                              Also einfach für n verschiedenen Zahlen einsetzen?

                              Und wie lange geht das?

                              Ich hatte n=10 geschätzt. Leider habe ich hier keine Quadrattaste am Taschenrechner. Aber kommt ungefähr hin. Eventuell 10.2 oder so.


                              Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion wäre dann die Logarithmusfunktion.
                              Ok, danke!


                              @Spocky: auch dir nochmal!

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