Irgendwann mal, als ich noch in der Schule war, hat mich interessiert, ob die Potenzzahlen alle in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Angefangen habe ich mit den Quadraten, wobei mir auffiel, dass die Differenzen der Quadrate immer um 2 zunehmen.
Beispiel: 2² - 1² = 3; 3² - 2² = 5; 4² - 3² = 7 usw. Mir war klar, da muss ein System dahinterstecken, also habe ich eine allgemeine Formel aufgestellt:
Und dann hab ich losgerechnet:
Die x² kürzen sich dabei heraus und es bleibt:
So war meine erste selbstentdeckte Formel (x + 1)² - x² = 2x + 1 geboren und ich dachte mir, ich mach daraus auch gleich einen Merksatz. Durch umformen fiel mir auf, dass man ja (x) + (x+1) draus machen konnte, also die beiden Basen einfach nur zu addieren brauchte. Daraus ergab sich mein Merksatz:
Danach habe ich die Rechnung noch auf ganz allgemein erweitert:
Die Differenz zweier beliebiger Quadratzahlen entspricht also dem n-fachen ihrer Summe.
Als nächstes habe ich versucht, die Gleichung ganz allgemein für alle Potenzen zu erstellen, was dann folgendes ergab:
Damals hatte noch nichts vom Logarithmus gehört, deshalb konnte ich die Gleichung nicht lösen, aber wie mir gerade auffällt, sollte das ja möglich sein. Gut, werde ich am Ende meiner Ausführungen drauf zurück kommen.
Ich ging also zu dem Schritt zurück, mit dem ich das ganze begonnen hatte und schaute nach Auffälligkeiten. Ich bemerkte, dass es bei der dritten Potenz nicht so klappte, wie ich es erhofft hatte. Die Differenz der Abstände stieg an und war nicht identisch, wie bei den Quadraten. als ich mir aber einen Differenzenbaum aufzeichnete, merkte ich, dass ich nur eine Differenz mehr bilden musste, um eine gleichbleibende Lösung zu erhalten. Sogleich fing ich an, das ganze für immer mehr Potenzen zu erstellen:
1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 1
5 -> 1
1² = 1
2² = 4 -> 3 -> 2
3² = 9 -> 5 -> 2
4² = 16 -> 7 -> 2
5² = 25 -> 9 -> 2
1³ = 1
2³ = 8 -> 7
3³ = 27 -> 19 -> 12 -> 6
4³ = 64 -> 37 -> 18 -> 6
5³ = 125 -> 61 -> 24 -> 6
6³ = 216 -> 91 -> 30 -> 6
1^4 = 1
2^4 = 16 -> 15
3^4 = 81 -> 65 -> 50
4^4 = 256 -> 175 -> 110 -> 60
5^4 = 625 -> 369 -> 194 -> 84 -> 24
6^4 = 1296 -> 671 -> 302 -> 108 -> 24
1^5 = 1
2^5 = 32 -> 31
3^5 = 243 -> 211 -> 180
4^5 = 1024 -> 781 -> 570 -> 390
5^5 = 3125 -> 2101 -> 1320 -> 750 -> 360
6^5 = 7776 -> 4651 -> 2550 -> 1230 -> 480 -> 120
7^5 = 16807 -> 9031 -> 4380 -> 1830 -> 600 -> 120
(Die Zahlen hinter den Pfeilen sind jeweils die Differenz zwischen dem Ergebnis in dieser Zeile und dem Ergebnis in der Zeile darüber)
Und immer so weiter. Mir stach ins Auge, dass überall jeweils als n. Differenz innerhalb der Bäume gleich war. Als nächstes habe ich mir angeschaut, nach welchem System die letzte Zahl jeweils aufgebaut ist und mir fiel auf, dass es die Fakultäten waren, 2!, 3!, 4!, 5! usw.
Um das ganze in eine mathematische Form zu bringen, habe ich die Bäume in eine mathematische Form zu bringen, um etwas handfestes zu haben.
Übersetzt man den Baum der zweiten Potenz in eine mathematische Rechnung ergibt sich folgendes:
[(x + 2)² - (x + 1)²] - [(x + 1)² - x²] =
(x + 2)² - 2(x + 1)² + x² =
x² + 4x + 4 - 2x² - 4x - 2 = 2 = 2!
Analoges gilt für die Übersetzung des Baumes in der dritten Potenz:
{[(x + 3)³ - (x + 2)³] - [(x + 2)³ - (x + 1)³]} - {[(x + 2)³ - (x + 1)³] - [(x + 1)³ - x³]} =
1(x + 3)³ - 3(x + 2)³ + 3(x + 1)³ - 1x³ =
1(x³ + 9x² + 27x + 27) - 3(x³ + 6x² + 12x + 8) + 3(x³ + 3x² + 3x + 1) - x³ =
x³ + 9x² + 27x + 27 - 3x³ - 18x² - 36x - 24 + 3x³ + 9x² + 9x + 3 - x³ = 6 = 3!
[Beachte hierbei: (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3 ab² + b³]
[Für höhere Potenzen siehe jeweils beim Pascalschen Dreieck]
Für die noch höheren Potenzen lass ich mal die ersten Schritte Weg. Wer es selbst ausprobieren möchte, kann das ganze ja in dem Stil weiterführen. (Zur Überprüfung für den Selbstversuch: Es muss pro höhere Potenz jeweils eine Rechnung mit doppelt so vielen Gliedern vorkommen).
1(x + 4)^4 - 4(x + 3)^4 + 6(x + 2)^4 - 4(x + 1)^4 + x^4 = 24 = 4!
1(x+5)^5 - 10(x + 4)^5 + 15(x + 3)^5 - 15(x + 2)^5 + 10(x + 1)^5 - 1x^5 = 120 = 5!
Die Zahlen vor den Klammern spiegeln wieder die Zahlen des Pascalschen Dreiecks wider, wobei das erste Glied immer positiv, das zweite immer negativ ist. Wer weiterrechnen will, das ganze stimmt für alle ganzzahligen nichtnegativen Potenzen (also inklusive 0 und 1).
Daraus lässt sich allgemein ableiten:
1(x + n)^n -n(x + n - 1)^n + ... - n(x + 1)^n + x^n = n! für gerade Zahlen
1(x + n)^n - n(x + n - 1)^n + ... + n(x + 1)^n - x^n = n! für ungerade Zahlen
Leider konnte ich auf diese Weise keinen allgemeingültigen Satz aufstellen. Ich konnte zwar stets zeigen, dass die Sätze für jede Potenz, bei der ich es versuchte stimmten, aber ich konnte mit keiner Rechnung zeigen, dass die Sätze wahr sind. Ich habe dann versucht, über das Pascalsche Dreieck Beweise aufzustellen, indem ich versuchte, allgemeingültige Vorhersagen darüber machen zu können. Geklappt hat es letztendlich nicht, aber ich bin auf weitere nette Spielereien gestoßen.
Übrigens zeigt das Pascalsche Dreieck wunderschön die Potenzen von 11:
Ab 11^5 wird’s schwierig, weil durch die Zehnen eine Verschiebung erfolgt. Sagt man aber, man hat 1 Einer, 5 Zehner, 10 Hunderter, 10 Tausender, 5 Zehntausender und 1 Hunderttausender, so erhält man 161051 und das ist wiederum 11^5. Genauso schauts mit allen höheren Potenzen von 11 aus. Übrigens lassen sich noch weit mehr Spielereien mit dem Pascalschen Dreieck machen, aber das würde jetzt zu weit führen und ihr sollte gerne auch mal selbst was ausprobieren .
Wie oben ja erwähnt, fiel mir grad wieder auf, dass ich den Ansatz jetzt ja vielleicht doch noch lösen kann. Leider habe ich dann, als ich den Logarithmus schon kannte, immer nur ab meinen letzten erreichten Erkenntnissen weitergemacht und bin nie wieder zum Ansatz zurück, bis heute, wo ich das ganze aufschreibe – leider habe ich jetzt keine Übung mehr im Logarithmieren, also korrigiert mich bitte, falls ich etwas falsch mache. Meine Erwartung ist, dass ich auf etwas komme, das mir die Fakultäten liefert, also mal sehen:
(x + n)^m – x^m |log
log[(x + n)^m – x^m]
Grübelgrübel, ist das nicht dasselbe, wie
log(x+n)^m/log(x)^m ?
Das ist dann m*log(x+n)/m*log(x) = log(x+n)/log(x)
Hm, jetzt ist mir meine Potenz (m) flöten gegangen, was bedeuten würde, dass es unabhängig davon ist. Kann das sein?
Achja, meine obigen Rechnungen waren ja stets für m = n und das n ist ja noch da, also so gesehen auch noch meine Potenz
log(x+n)/log(x) da haben wir ja wieder so was log(x+n) dürfte (wenn das vorherige stimmt) log(x)*log(n) sein.
Dann haben wir jetzt log(x)*log(n)/log(x)
Da bliebe ja nur log(n), wenn man das kürzt. Darf man das? Hab ich einen anderen Fehler gemacht, oder ist log(n) wirklich gleich n! ?
Ach nee, halt, das hat ja jetzt mit der n-ten Differenz nix zu tun. Naja, auf jeden Fall ne nette Spielerei. Vielleicht weiß ja jemand von euch noch einen Ansatz, wie ich das ganze noch ausbauen kann .
Irgendwo muss wohl noch ein Fehler drin sein, weil log(n) ist ja noch eine Konstante und die Differenz ist ja definitiv nicht konstant, also zeigt mir bitte wer, was nicht stimmt und am besten auch gleich die richtige Lösung der Gleichung? *liebguck*
Beispiel: 2² - 1² = 3; 3² - 2² = 5; 4² - 3² = 7 usw. Mir war klar, da muss ein System dahinterstecken, also habe ich eine allgemeine Formel aufgestellt:
(x + 1)² - x² =
Und dann hab ich losgerechnet:
x² + 2x + 1 – x²
Die x² kürzen sich dabei heraus und es bleibt:
2x+1
So war meine erste selbstentdeckte Formel (x + 1)² - x² = 2x + 1 geboren und ich dachte mir, ich mach daraus auch gleich einen Merksatz. Durch umformen fiel mir auf, dass man ja (x) + (x+1) draus machen konnte, also die beiden Basen einfach nur zu addieren brauchte. Daraus ergab sich mein Merksatz:
Die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen ist gleich der Summe ihrer Basen!
Danach habe ich die Rechnung noch auf ganz allgemein erweitert:
(x + n)² - x² = 2nx + n² = n(2x + n) = n[(x) + (x+n)]
Die Differenz zweier beliebiger Quadratzahlen entspricht also dem n-fachen ihrer Summe.
Als nächstes habe ich versucht, die Gleichung ganz allgemein für alle Potenzen zu erstellen, was dann folgendes ergab:
(x + n)^m – x^m
Für x, n, m € N (man verzeihe mir den Missbrauch des €-Zeichens, aber das ist noch das ähnlichste, was ich grad bei der Hand hab )Damals hatte noch nichts vom Logarithmus gehört, deshalb konnte ich die Gleichung nicht lösen, aber wie mir gerade auffällt, sollte das ja möglich sein. Gut, werde ich am Ende meiner Ausführungen drauf zurück kommen.
Ich ging also zu dem Schritt zurück, mit dem ich das ganze begonnen hatte und schaute nach Auffälligkeiten. Ich bemerkte, dass es bei der dritten Potenz nicht so klappte, wie ich es erhofft hatte. Die Differenz der Abstände stieg an und war nicht identisch, wie bei den Quadraten. als ich mir aber einen Differenzenbaum aufzeichnete, merkte ich, dass ich nur eine Differenz mehr bilden musste, um eine gleichbleibende Lösung zu erhalten. Sogleich fing ich an, das ganze für immer mehr Potenzen zu erstellen:
1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 1
5 -> 1
1² = 1
2² = 4 -> 3 -> 2
3² = 9 -> 5 -> 2
4² = 16 -> 7 -> 2
5² = 25 -> 9 -> 2
1³ = 1
2³ = 8 -> 7
3³ = 27 -> 19 -> 12 -> 6
4³ = 64 -> 37 -> 18 -> 6
5³ = 125 -> 61 -> 24 -> 6
6³ = 216 -> 91 -> 30 -> 6
1^4 = 1
2^4 = 16 -> 15
3^4 = 81 -> 65 -> 50
4^4 = 256 -> 175 -> 110 -> 60
5^4 = 625 -> 369 -> 194 -> 84 -> 24
6^4 = 1296 -> 671 -> 302 -> 108 -> 24
1^5 = 1
2^5 = 32 -> 31
3^5 = 243 -> 211 -> 180
4^5 = 1024 -> 781 -> 570 -> 390
5^5 = 3125 -> 2101 -> 1320 -> 750 -> 360
6^5 = 7776 -> 4651 -> 2550 -> 1230 -> 480 -> 120
7^5 = 16807 -> 9031 -> 4380 -> 1830 -> 600 -> 120
(Die Zahlen hinter den Pfeilen sind jeweils die Differenz zwischen dem Ergebnis in dieser Zeile und dem Ergebnis in der Zeile darüber)
Und immer so weiter. Mir stach ins Auge, dass überall jeweils als n. Differenz innerhalb der Bäume gleich war. Als nächstes habe ich mir angeschaut, nach welchem System die letzte Zahl jeweils aufgebaut ist und mir fiel auf, dass es die Fakultäten waren, 2!, 3!, 4!, 5! usw.
Um das ganze in eine mathematische Form zu bringen, habe ich die Bäume in eine mathematische Form zu bringen, um etwas handfestes zu haben.
Übersetzt man den Baum der zweiten Potenz in eine mathematische Rechnung ergibt sich folgendes:
[(x + 2)² - (x + 1)²] - [(x + 1)² - x²] =
(x + 2)² - 2(x + 1)² + x² =
x² + 4x + 4 - 2x² - 4x - 2 = 2 = 2!
Analoges gilt für die Übersetzung des Baumes in der dritten Potenz:
{[(x + 3)³ - (x + 2)³] - [(x + 2)³ - (x + 1)³]} - {[(x + 2)³ - (x + 1)³] - [(x + 1)³ - x³]} =
1(x + 3)³ - 3(x + 2)³ + 3(x + 1)³ - 1x³ =
1(x³ + 9x² + 27x + 27) - 3(x³ + 6x² + 12x + 8) + 3(x³ + 3x² + 3x + 1) - x³ =
x³ + 9x² + 27x + 27 - 3x³ - 18x² - 36x - 24 + 3x³ + 9x² + 9x + 3 - x³ = 6 = 3!
[Beachte hierbei: (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3 ab² + b³]
[Für höhere Potenzen siehe jeweils beim Pascalschen Dreieck]
Für die noch höheren Potenzen lass ich mal die ersten Schritte Weg. Wer es selbst ausprobieren möchte, kann das ganze ja in dem Stil weiterführen. (Zur Überprüfung für den Selbstversuch: Es muss pro höhere Potenz jeweils eine Rechnung mit doppelt so vielen Gliedern vorkommen).
1(x + 4)^4 - 4(x + 3)^4 + 6(x + 2)^4 - 4(x + 1)^4 + x^4 = 24 = 4!
1(x+5)^5 - 10(x + 4)^5 + 15(x + 3)^5 - 15(x + 2)^5 + 10(x + 1)^5 - 1x^5 = 120 = 5!
Die Zahlen vor den Klammern spiegeln wieder die Zahlen des Pascalschen Dreiecks wider, wobei das erste Glied immer positiv, das zweite immer negativ ist. Wer weiterrechnen will, das ganze stimmt für alle ganzzahligen nichtnegativen Potenzen (also inklusive 0 und 1).
Daraus lässt sich allgemein ableiten:
1(x + n)^n -n(x + n - 1)^n + ... - n(x + 1)^n + x^n = n! für gerade Zahlen
1(x + n)^n - n(x + n - 1)^n + ... + n(x + 1)^n - x^n = n! für ungerade Zahlen
Leider konnte ich auf diese Weise keinen allgemeingültigen Satz aufstellen. Ich konnte zwar stets zeigen, dass die Sätze für jede Potenz, bei der ich es versuchte stimmten, aber ich konnte mit keiner Rechnung zeigen, dass die Sätze wahr sind. Ich habe dann versucht, über das Pascalsche Dreieck Beweise aufzustellen, indem ich versuchte, allgemeingültige Vorhersagen darüber machen zu können. Geklappt hat es letztendlich nicht, aber ich bin auf weitere nette Spielereien gestoßen.
Übrigens zeigt das Pascalsche Dreieck wunderschön die Potenzen von 11:
11^0 = 1
11^1 = 11
11^2 = 121
11^3 = 1331
11^4 = 14641
11^1 = 11
11^2 = 121
11^3 = 1331
11^4 = 14641
Ab 11^5 wird’s schwierig, weil durch die Zehnen eine Verschiebung erfolgt. Sagt man aber, man hat 1 Einer, 5 Zehner, 10 Hunderter, 10 Tausender, 5 Zehntausender und 1 Hunderttausender, so erhält man 161051 und das ist wiederum 11^5. Genauso schauts mit allen höheren Potenzen von 11 aus. Übrigens lassen sich noch weit mehr Spielereien mit dem Pascalschen Dreieck machen, aber das würde jetzt zu weit führen und ihr sollte gerne auch mal selbst was ausprobieren .
Wie oben ja erwähnt, fiel mir grad wieder auf, dass ich den Ansatz jetzt ja vielleicht doch noch lösen kann. Leider habe ich dann, als ich den Logarithmus schon kannte, immer nur ab meinen letzten erreichten Erkenntnissen weitergemacht und bin nie wieder zum Ansatz zurück, bis heute, wo ich das ganze aufschreibe – leider habe ich jetzt keine Übung mehr im Logarithmieren, also korrigiert mich bitte, falls ich etwas falsch mache. Meine Erwartung ist, dass ich auf etwas komme, das mir die Fakultäten liefert, also mal sehen:
(x + n)^m – x^m |log
log[(x + n)^m – x^m]
Grübelgrübel, ist das nicht dasselbe, wie
log(x+n)^m/log(x)^m ?
Das ist dann m*log(x+n)/m*log(x) = log(x+n)/log(x)
Hm, jetzt ist mir meine Potenz (m) flöten gegangen, was bedeuten würde, dass es unabhängig davon ist. Kann das sein?
Achja, meine obigen Rechnungen waren ja stets für m = n und das n ist ja noch da, also so gesehen auch noch meine Potenz
log(x+n)/log(x) da haben wir ja wieder so was log(x+n) dürfte (wenn das vorherige stimmt) log(x)*log(n) sein.
Dann haben wir jetzt log(x)*log(n)/log(x)
Da bliebe ja nur log(n), wenn man das kürzt. Darf man das? Hab ich einen anderen Fehler gemacht, oder ist log(n) wirklich gleich n! ?
Ach nee, halt, das hat ja jetzt mit der n-ten Differenz nix zu tun. Naja, auf jeden Fall ne nette Spielerei. Vielleicht weiß ja jemand von euch noch einen Ansatz, wie ich das ganze noch ausbauen kann .
Irgendwo muss wohl noch ein Fehler drin sein, weil log(n) ist ja noch eine Konstante und die Differenz ist ja definitiv nicht konstant, also zeigt mir bitte wer, was nicht stimmt und am besten auch gleich die richtige Lösung der Gleichung? *liebguck*
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