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Beweis der Vollständigen Induktion - wie?

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  • Beweis der Vollständigen Induktion - wie?

    Hi,
    wir haben im Moment das Thema der vollständigen Induktion, aber ich blick da nicht durch.
    Nehmen wir mal eine Folge:
    1=1²
    1+3=2²
    1+3+5=3²
    etc.
    also:
    1+3+5+...+(2n-1)=n² (Sigma hatten wir noch nix, kann damit also leider nix anfangen)

    Der erste Arbeitsschritt ist dann das ganze für das erste Folgeglied zu belegen, also rechen:

    Induktionsanfang:
    2n-1=n² => 2*1-1=1=1²

    Das wäre gemacht:
    aber dann der zweite, zu beweisen dass es für alle Folgeglieder gilt:


    Induktionsschritt:
    Zu Beweisen:
    1+3+5+...+(2n-1)=n²

    Dann muss das ja auch für alle Folgeglieder gelten:

    1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)²

    So, und ab da an weiß ich nicht, was ich damit dann machen soll.
    Wie geht dass denn jetzt weiter?
    68 61 62 61 64 61 2d 68 61 62 61 64 61


  • #2
    ok, IBeh ist ja: 1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)²

    Gehen wir also von folgendenm Term aus:

    1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1)

    Das ist laut Induktionsvorraussetzung (1+3+5+...+(2n-1)=n²):

    =n²+(2(n+1)-1)
    =n²+2n+1

    Das ist laut binomischer Formel:

    =(n+1)²

    q.e.d.
    "Imagine there's no heaven - It's easy if you try
    No hell below us - Above us only sky
    Imagine all the people Living for today...
    "

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    • #3
      Ok, danke für die Antwort, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann wird aus 1+3+5+...+(2n-1) n² ?

      Und dann wird n²+(2(n+1)-1) solange umgeformt, bis es (n-1)² wird?


      P.s: Aus gegebenen Anlass, kenn jemand einen online-Formeleditor, wo man z.B. sqrt(12) eingibt, und dann 12 mit einem Wurzelzeichen darüber als Grafik ausgegeben wird, so wie bei wikipedia?
      68 61 62 61 64 61 2d 68 61 62 61 64 61

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      • #4
        Wenn Du Formeln rendern willst, nimm LaTeX, oder den Formeleditor deines Vertrauens (z.B. openoffice.org).
        können wir nicht?

        macht nix! wir tun einfach so als ob!

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        • #5
          Zitat von mattberg
          (Sigma hatten wir noch nix, kann damit also leider nix anfangen)
          Sigma bedeutet "Summe" für die dahinter stehende Formel.
          Da man aber auch wissen will, von welcher Zahl bis zu welcher Zahl man summieren will, schreibt man unter Sigma bei welcher Zahl man anfängt und über Sigma, bei welcher Zahl man aufhört.

          Nun kannst du den Artikel bei Wikipedia durchlesen. Da wird auch dein Beispiel behandelt
          Loriot: Kraweel, kraweel. Taub-trüber Ginst am Musenhain, trüb-tauber Hain am Musenginst. Kraweel, kraweel.

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          • #6
            Zitat von mattberg Beitrag anzeigen
            Ok, danke für die Antwort, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann wird aus 1+3+5+...+(2n-1) n² ?
            Ja, genau, das ist ja deine Induktionsvorrausetzung und die kannst du im Induktionsschritt als gegeben ansehen.

            Zitat von mattberg Beitrag anzeigen
            Und dann wird n²+(2(n+1)-1) solange umgeformt, bis es (n-1)² wird?
            Jup.
            "Imagine there's no heaven - It's easy if you try
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            Imagine all the people Living for today...
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            • #7
              Hi,
              ich wollt mich nochmal bedanken, hab heute Mathe geschrieben, und es kam auch die vollständige Induktion dran, und ich hatte keine Probleme
              Allerdings habe ich das gleichgesetzt und umgeformt bis 0 = 0 herauskam
              68 61 62 61 64 61 2d 68 61 62 61 64 61

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              • #8
                hmm.. ja gleichsetzen und Induktionsbehauptung umformen ist immer problematisch, da es ja zunächstmal nur ne Behauptung ist und man aus ner falschen Aussage prinzipiell alles folgern kann. Aber hey wenn's dein Mathelehrer akzeptiert
                "Imagine there's no heaven - It's easy if you try
                No hell below us - Above us only sky
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