Ankündigung

Einklappen
Keine Ankündigung bisher.

Monotonieverhalten bei ln-Funktion

Einklappen
X
  • Filter
  • Zeit
  • Anzeigen
Alles löschen
neue Beiträge

  • Monotonieverhalten bei ln-Funktion

    Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x²/(x+2))
    Definitionsbereich: D(f) = ]-2;+unendlich[ \ {0}

    Ableitung: f'(x) = x+4/(x²+2x)

    Üblicherweise gilt ja: Wo die erste Ableitung größer Null ist, ist die Funktion streng monoton zunehmend; wo die erste Ableitung kleiner Null ist, ist die Funktion streng monoton fallend.

    Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei x = -4. Da dies links vom linken Rand des Definitionsbereiches liegt, müsste sich daraus doch logischerweise ergeben, dass die erste Ableitung im gesamten Definitionsbereich entweder größer oder kleiner Null ist. Daraus wiederum ließe sich schlussfolgern, dass die Funktion in ganz D entweder s.m.s. oder s.m.f. ist.

    Denkste.

    Die Lösung sagt: Für x € ]-2;0[ ist G(f) streng monoton fallend und für x € ]0;+unendlich[ streng monoton steigend.

    Wenn man die entsprechenden Werte einsetzt, stellt man fest, dass es so stimmt. Meine oben getroffenen Schlussfolgerungen über den Definitionsbereich sind also falsch, aber ich verstehe nicht, warum. Wo ist der Haken? Was übersehe ich?
    Zuletzt geändert von SF-Junky; 17.05.2010, 14:16. Grund: Tippfehler beseitigt
    "The only thing we have to fear is fear itself!"

  • #2
    Zitat von SF-Junky Beitrag anzeigen
    Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x²/(x+2))
    Definitionsbereich: D(f) = ]-2;+unendlich[ \ {0}

    Ableitung: f'(x) = x+4/(x²+2)
    Wenn ich mich an die Schulmathematik richtig erinnere ist Deine Ableitung falsch.

    f (x) = ln(x²/(x+2)) = 2 ln (x) - ln (x+2)

    f ' (x) = 2 / x - 1 /(x+2)

    Kommentar


    • #3
      Zitat von transportermalfunction Beitrag anzeigen
      Wenn ich mich an die Schulmathematik richtig erinnere ist Deine Ableitung falsch.

      f (x) = ln(x²/(x+2)) = 2 ln (x) - ln (x+2)

      f ' (x) = 2 / x - 1 /(x+2)
      Ableitung: f'(x) = x+4/(x²+2)
      Zur "Ehrenrettung" SF-Junkys; es ist ein Umformungsfehler, denn (2/x)-(1/(x+2)) umgeformt ist (x+4)/(x²+2x).

      "Innere X Äußere" klappt auch allerdings hat man dann mehr Arbeit beim Ableiten und Umformen .

      Inner: (x²+4x)/(x+2)² und Äußere: (x²/(x+2))^-1
      Kommt nach längerem Umformen aufs gleiche (x+4)/(x²+2x) raus.
      Und er Definitionsbereich aus der Lösung käme dann auch hin, wenn das x fehlt wird f'(-1) zum Beispiel +1 und nicht -3.
      Zuletzt geändert von Colonel O'Neill; 16.05.2010, 21:14.
      Out with the old, in with the nucleus.

      Kommentar


      • #4
        Zitat von SF-Junky Beitrag anzeigen
        Üblicherweise gilt ja: Wo die erste Ableitung größer Null ist, ist die Funktion streng monoton zunehmend; wo die erste Ableitung kleiner Null ist, ist die Funktion streng monoton fallend.

        Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei x = -4. Da dies links vom linken Rand des Definitionsbereiches liegt, müsste sich daraus doch logischerweise ergeben, dass die erste Ableitung im gesamten Definitionsbereich entweder größer oder kleiner Null ist. Daraus wiederum ließe sich schlussfolgern, dass die Funktion in ganz D entweder s.m.s. oder s.m.f. ist.
        Wenn man die Funktion zeichnet, sieht man, dass die Ableitung an den Stellen -2 und 0 springt. Einen Vorzeichenwechsel der Ableitung kann es also auch ohne Nullstelle geben. Zwischen -2 und 0 ist f ' < 0 und sonst ist f ' > 0.

        Kommentar


        • #5
          Die Ableitung war übrigens auch als Lösung angegeben.

          Zitat von transportermalfunction Beitrag anzeigen
          Wenn man die Funktion zeichnet, sieht man, dass die Ableitung an den Stellen -2 und 0 springt. Einen Vorzeichenwechsel der Ableitung kann es also auch ohne Nullstelle geben. Zwischen -2 und 0 ist f ' < 0 und sonst ist f ' > 0.
          Da das ist mir ersichtlich. Nur verstehe ich nicht, warum? Wenn f'(x) eine Nullstelle hat, dann heißt das, dass die Funktion auf der einen Seite davon über der x-Achse verläuft (also größer Null ist) und auf der anderen darunter (kleiner Null ist), d.h. es gibt genau einen VZW.

          Das ist doch logisch, oder nicht? Eine Linie, die die Achse nur ein einziges Mal durchstößt muss folglich auf der einen Seite immer darunter liegen und auf der anderen immer darüber. Warum führen mich diese Annahmen also nicht zum richtigen Ergebnis?
          "The only thing we have to fear is fear itself!"

          Kommentar


          • #6
            Zitat von SF-Junky Beitrag anzeigen
            Da das ist mir ersichtlich. Nur verstehe ich nicht, warum? Wenn f'(x) eine Nullstelle hat, dann heißt das, dass die Funktion auf der einen Seite davon über der x-Achse verläuft (also größer Null ist) und auf der anderen darunter (kleiner Null ist), d.h. es gibt genau einen VZW.
            Nein, es gibt noch mehr Vorzeichenwechsel, und zwar an den Sprungstellen -2 und 0. An der Stelle x = -2 springt die Ableitung f ' (x) = 2 / x - 1/(x+2) ins Negative und an der Stelle x = 0 wieder ins Positive. Warum lässt Du Dir die Ableitungsfunktion f ' (x) nicht mal zeichnen ?
            Zitat von SF-Junky Beitrag anzeigen
            Das ist doch logisch, oder nicht? Eine Linie, die die Achse nur ein einziges Mal durchstößt muss folglich auf der einen Seite immer darunter liegen und auf der anderen immer darüber. Warum führen mich diese Annahmen also nicht zum richtigen Ergebnis?
            Weil Du anscheinend nicht verstehst, dass es Funktionen gibt, die von + nach - und von - nach + springen können ohne dabei eine Nullstelle (Durchstoßpunkt der x-Achse) zu haben, was z.B. der Fall ist, wenn die Funktion an den Sprungstellen gar nicht definiert ist.

            Kommentar


            • #7
              EDIT: Hier ist mal ein Bild, wo man sieht, dass die Ableitung eine Nullstelle bei x = -4 und bei x = -2 und x = 0 Sprungstellen hat und jeweils das Vorzeichen wechselt
              Angehängte Dateien

              Kommentar


              • #8
                Wenn die Ableitung jetzt tatsächlich (x+4)/(x²+2x) lautet, und nicht wie im Startpost steht x+4/(x²+2) (zum rechnen bin ich zu faul), dann ist es genau das, was transportermalfunction beschrieben hat. Du hast bei -2 und bei 0 senkrechte Asymptoten und an denen erfolgt der Vorzeichenwechsel ohne "Durchstoßen" der X-Achse.

                Da geht die Funktion dann auf der einen Seite gegen +unendlich und auf der anderen gegen -unendlich.

                €: Die Grafik sagt wohl alles.
                I am altering the movie. Pray I don't alter it any further.

                - George Lucas

                Kommentar


                • #9
                  Zitat von Leandertaler Beitrag anzeigen
                  Wenn die Ableitung jetzt tatsächlich (x+4)/(x²+2x) lautet
                  Das ist sie wohl. Es scheint, dass sich SF-Junky im Ausganspost einfach böse vertippt hat .

                  Asymptoten ist der Fachausdruck den ich gesucht habe, für die senkrechten Geraden bei x = -2 und x = 0 . Zum besseren Verständnis habe ich die auch mal ins Bild reingemalt.

                  Kommentar


                  • #10
                    Oha! Im Einleitungspost habe ich mich tatsächlich vertippt - mea culpa.

                    Zitat von transportermalfunction Beitrag anzeigen
                    Asymptoten ist der Fachausdruck den ich gesucht habe, für die senkrechten Geraden bei x = -2 und x = 0 . Zum besseren Verständnis habe ich die auch mal ins Bild reingemalt.
                    Ach so stimmt, bei den Asymptoten (oder besser gesagt Polstellen ) gibt es ja auch einen VZW, allerdings habe ich bisher nicht mitbekommen, dass dieser VZW auch für die Ableitungen der jeweiligen Funktion gilt. Dann ist es natürlich klar.

                    Gut, damit dürfte ich dann in Mathe fit sein für die Prüfung - jedenfalls theoretisch. Vielen Dank.
                    "The only thing we have to fear is fear itself!"

                    Kommentar


                    • #11
                      Zitat von SF-Junky Beitrag anzeigen
                      allerdings habe ich bisher nicht mitbekommen, dass dieser VZW auch für die Ableitungen der jeweiligen Funktion gilt
                      Was meinst Du damit ? Warum sollten Ableitungen keine Vorzeichenwechsel an Sprungstellen haben ?

                      Kommentar


                      • #12
                        Zitat von transportermalfunction Beitrag anzeigen
                        Was meinst Du damit ? Warum sollten Ableitungen keine Vorzeichenwechsel an Sprungstellen haben ?
                        Gegenfrage: Warum sollten sie?

                        Was willst du denn? Ich bin eigentlich der totale Mathe-Nerd. Der Höhenflug, den ich zurzeit habe ist die totale Ausnahmeerscheinung.
                        "The only thing we have to fear is fear itself!"

                        Kommentar


                        • #13
                          Zitat von SF-Junky Beitrag anzeigen
                          Gegenfrage: Warum sollten sie?
                          Eine Funktion ist ja auch dann eine Funktion, wenn sie die Ableitung einer anderen Funktion ist. Wenn "normale" Funktionen Vorzeichenwechsel an Sprungstellen haben können, dann auch Ableitungsfunktionen.
                          Zitat von SF-Junky Beitrag anzeigen
                          Ich bin eigentlich der totale Mathe-Nerd.
                          Darauf komme ich bei Gelegenheit gerne zurück .

                          Kommentar


                          • #14
                            Die Logik hinter der ganzen Geschichte ist afaik, dass eine Funktion immer dann ansteigt, wenn ihre Ableitung positiv ist. Darum diese Regel mit der Ableitung, die du hier benutzt. Warum das Vorzeichen wechselt, ist dabei egal.
                            Und dass es diese Sprungstellen gibt, muss man halt einfach wissen.
                            I am altering the movie. Pray I don't alter it any further.

                            - George Lucas

                            Kommentar


                            • #15
                              Das ganze Wirrwarr hättet ihr euch sparen können, wenn ihr die zweite Ableitung der Funktion gebildet hättet.

                              Die Nullstellen der zweiten Ableitungen entsprechen nämlich den Wendepunkten, wo die Funktion von fallend in steigend und umgekehrt umspringt. Tatsächlich hat die Originalfunktion zwei Wendepunkte und damit zwei Wechsel zwischen monoton fallend und monoton steigend.

                              @ Abbildung:
                              Grün = Originalfunktion
                              Blau = erste Ableitung
                              Rot = zweite Ableitung
                              Angehängte Dateien
                              Mein Profil bei Memory Alpha
                              Treknology-Wiki

                              Even logic must give way to physics. / Sogar die Logik muss sich der Physik beugen. -- Captain Spock, 2293

                              Kommentar

                              Lädt...
                              X