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Integralrechnung

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  • Integralrechnung

    Hi.
    Also ich weiß ja, dass das Thema eigentlich nicht so ganz in das SciFi-Forum passt, aber das ist hier ja auch der Offtopic Bereich. ^^
    Ich habe eigentlich immer Gedacht, dass ich das mit der Mathematik so einigermaßen Verstanden habe, aber Heute hat mir eine Bekannte folgende Aufgabe gegeben und mich um Unterstützung gebeten:
    Integral von x²*(2-x²)^0.5 berechnen.
    Klar steht hinten in meiner Formelsammlung das Ergebnis drin, aber meine Bekannte darf bei Prüfungen keine Formelsammlung verwenden und würde gerne wissn, wie man selbst Schritt für Schritt auf ein Ergebnis kommt. Ich habe Heute schon 2 Stunden lang verzweifelt nach einer Lösung gesucht und bin bisher nicht erfolgreich gewesen. Kennt ihr euch vielleicht damit aus und habt ein Paar Ideen, bzw. nen Lösungsweg?? xD

  • #2
    Der Exponent ^0.5 (= Wurzel 2) bezieht sich nur auf die Klammer, richtig?
    .

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    • #3
      Jo, genau.

      Hier mal in mathematischer Schreibweise:
      Klicke auf die Grafik für eine vergrößerte Ansicht

Name: x22-x2dx.png
Ansichten: 1
Größe: 25,7 KB
ID: 4271140
      Zuletzt geändert von Robater; 29.03.2014, 11:47.

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      • #4
        Zitat von Robater Beitrag anzeigen
        Integral von x²*(2-x²)^0.5 berechnen.
        Versuch mal partielle Integration mit x^2*(2-x^2)^0.5 = -0.5x *(-2x)*(2-x^2)^0.5 = u(x)*v'(x).

        v'(x) = (-2x)*(2-x^2)^0.5 lässt sich mit einer Substitution t = -x^2 integrieren, das ergibt v(x) = 2/3*(2-x^2)^(3/2).

        Dein Integral ist dann u(x)*v(x) - Integral (-1/3)(2-x^2)^(3/2) dx

        Das Integral (-1/3)(2-x^2)^(3/2) dx wieder mit partieller Integration integrieren, so dass man auf
        Integral (2-x^2)^(1/2) dx kommt, und dann wieder eine Substitution, x^2 = 2 sin^2(y), ergibt dann das Endergebnis.

        Du kannst auch im Ausgangsintegral x^2 = 2 sin^2(y) substitutieren, aber dann hast Du etwas mehr mit trigonometrischen Termen zu kämpfen.
        Zuletzt geändert von irony; 29.03.2014, 19:25.

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        • #5
          Ok, also die erste partielle Integration und die Substitution kann ich so nachvollziehen, aber den Integral (2-x^2)^(1/2) bekomme ich mit partieller Integration nicht raus, bei mir ist da noch nen x drin von der inneren Ableitung.

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          • #6
            Zitat von Robater Beitrag anzeigen
            Ok, also die erste partielle Integration und die Substitution kann ich so nachvollziehen, aber den Integral (2-x^2)^(1/2) bekomme ich mit partieller Integration nicht raus, bei mir ist da noch nen x drin von der inneren Ableitung.
            Integral (-1/3)(2-x^2)^(3/2) dx
            = -1/3 Integral (2-x^2)^1 * (2-x^2)^(1/2) dx
            = 1/3 Integral x^2 * (2-x^2)^(1/2) dx -2/3 Integral (2-x^2)^(1/2) dx

            Das kann man wieder mit partieller Integration machen, oder, das erste Teilintegral hatten wir schon, das kann man auch mit dem Ausgangsintegral verrechnen. Das zweite Teilintegral substitutiert man mit Sinus, das ergibt nach dem Integrieren und der Rücksubstitution einen Term mit Arcussinus.

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            • #7
              Zitat von irony Beitrag anzeigen
              = -1/3 Integral (2-x^2)^1 * (2-x^2)^(1/2) dx
              = 1/3 Integral x^2 * (2-x^2)^(1/2) dx -2/3 Integral (2-x^2)^(1/2) dx
              Ich kann den Schritt von der oberen in die untere Zeile irgendwie nicht nachvollziehen, Wieso hast du plötzlich zwei Integrale und ein x^2?

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              • #8
                Zitat von Robater Beitrag anzeigen
                Ich kann den Schritt von der oberen in die untere Zeile irgendwie nicht nachvollziehen, Wieso hast du plötzlich zwei Integrale und ein x^2?
                Die Zerlegung des Exponenten 3/2 = 1 + 1/2 ergibt

                (2-x^2)^(3/2) = (2-x^2)^1 * (2-x^2)^(1/2) = (2-x^2) * (2-x^2)^(1/2)

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                • #9
                  Jo, das stimmt, ich meinte aber den Schritt danach. "Obere Zeile" und "Untere Zeile" sind die zwei Zeilen aus meinem Zitat, hatte mich wohl etwas zu ungenau ausgedrückt.

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                  • #10
                    Zitat von Robater Beitrag anzeigen
                    Jo, das stimmt, ich meinte aber den Schritt danach. "Obere Zeile" und "Untere Zeile" sind die zwei Zeilen aus meinem Zitat, hatte mich wohl etwas zu ungenau ausgedrückt.
                    Das ist einfach nur ausmultipliziert, Grundrechenarten.

                    -1/3 Integral (2-x^2)^1 * (2-x^2)^(1/2) dx

                    = Integral (-1/3) * (2-x^2) * (2-x^2)^(1/2) dx

                    = Integral (1/3) * (x^2-2) * (2-x^2)^(1/2) dx

                    = Integral (1/3 * x^2 -2/3) * (2-x^2)^(1/2) dx

                    = 1/3 Integral x^2 * (2-x^2)^(1/2) dx -2/3 Integral (2-x^2)^(1/2) dx

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                    • #11
                      Aso, jetz versteh ich's. ^^

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