Überlegungen zur kinetischen Energie

[Halman]

Seit einiger Zeit fasziniert mich Emilie du Châtelet, und zwar seidem ich die ARTE-Doku E=mc² - Einsteins große Idee im TV sah.
Ab HIER kann man sie kennenlernen.
Laut der Doku sagte sie: "Newton sagt, wenn wir die Geschwindigkeit der Kugel verdoppeln, wird sich auch zwangläufig die Tiefe des Eindrucks im Ton verdoppeln. Leibniz fordert die Qudratur der Geschwindigkeit. - Wenn er damit recht hat, drückt sich die Kugel nicht zwei, sondern vier mal so tief ein."
Das Experiment zeigt, dass Leibniz und Emilie du Châtelet recht hatten. Aber warum ist dem so?

Newtons Addition klingt für mich völlig logisch, doch das experimentelle Ergebnis überraschte mich, und zeigte mir, dass Emilie du Châtelet bereits im 18. Jhd. mehr von Physik verstand als ich im 21. Jhd.

[irony]

Das Experiment zeigt, dass Leibniz und Emilie du Châtelet recht hatten. Aber warum ist dem so?

Weil es um kinetische Energie geht, und die nichtrelativistische Formel dafür ist 1/2 mv^2. Verdoppelung der Geschwindigkeit bewirkt eine Vervierfachung der kinetischen Energie. Durch Experimente kann man das leicht bestätigen. Interessant ist, aus welchen theoretischen Prinzipien man dies herleiten kann und wie Leibniz darauf gekommen ist.

[Halman]

Weil es um kinetische Energie geht, und die nichtrelativistische Formel dafür ist 1/2 mv^2. Verdoppelung der Geschwindigkeit bewirkt eine Vervierfachung der kinetischen Energie. Durch Experimente kann man das leicht bestätigen. Interessant ist, aus welchen theoretischen Prinzipien man dies herleiten kann und wie Leibniz darauf gekommen ist.

Danke für die Antwort. Wenn also ein Auto statt 50 km/h auf 100 km/h beschleunigt, so vervierfacht sich die kinetische Energie.
Angenommen, das Auto fährt weiterhin 50 km/h und kollidiert mit einen entgegenkommenden Fahrzeug mit gleicher Geschwindigkeit, ist dann die kinetische Energie auch viermal so hoch? Jedes Fahrzeit hat doch nur ein Viertel der kineteischen Energie eins doppelt so schnellen Fahrzeuges. Wie wird aus 1+1 nun 4? Oder liegt der Fall hier anders.
Aufgrund der Relativität der Bewegung sollte dies Äquivalent mit einem Auto sein, dass mit 100 km/h mit einem parkenden PKW kollidiert.

[irony]

Danke für die Antwort. Wenn also ein Auto statt 50 km/h auf 100 km/h beschleunigt, so vervierfacht sich die kinetische Energie.

Genau. Wenn ein Auto mit 100 gegen eine Wand fährt richtet das den vierfachen Schaden an.

Angenommen, das Auto fährt weiterhin 50 km/h und kollidiert mit einen entgegenkommenden Fahrzeug mit gleicher Geschwindigkeit, ist dann die kinetische Energie auch viermal so hoch? Jedes Fahrzeit hat doch nur ein Viertel der kineteischen Energie eins doppelt so schnellen Fahrzeuges.

Zwei Autos mit derselben Masse und derselben Geschwindigkeit (die nebeneinander in der selben Richtung fahren) haben dieselbe kinetische Energie wie ein Auto der doppelten Masse. Also stell Dir folgendes vor: Ein Auto der Masse M fährt mit 100 auf ein stehendes Auto, und ein Auto der Masse 2M fährt mit 50 auf ein stehendes Auto. Was ist schlimmer?

Die zwei aneinandergeschweißten Autos (also das eine Auto mit doppelter Masse) mit 50 km/h haben zusammen nur die halbe kinetische Energie wie das Auto mit 100 km/h, aber wenn die zwei Autos mit 50 aufeinander zu fahren, ist ihre Relativgeschwindigkeit 100, und das ist dann genauso schlimm wie das Auto, das mit 100 auf ein stehendes Auto fährt.

[Halman]

Danke für die Erlärung, irony.

Natürlich kannte ich die das Prinzip aus der Fahrschule, dass bei doppelter Geschwindigkeit ein vierfacher Bremsweg erforderlich ist, aber dennoch finde ich es seltsam, dass die kinetische Energie bei doppelter Geschwindigkeit vier mal so hoch ist. Wenn zwei Geschosse mit einem bestimmten Impuls aufeinander zufliegen, dann ist die kinetische Energie viermal so hoch. Dabei brauchte man doch nur in jedem Geschoss ein Viertel der Gesamtenergie hineinstecken - also insgesamt die Hälfte. Woher kommt die vis viva?
(Émilie du Châtelet hätte mich mit ihrer Wette ebenso gefoppt wie die Herren der Doku. )
So bin ich, ich diskutiere über Quantengravitation - nur bei den Grundlagen aus dem 18. Jahrhunderts habe ich noch Lücken.

Nun leuchtet mir aber auch ein, warum Meteoriten- und Kometeneinschläge so verherrend sind.

[irony]

dennoch finde ich es seltsam, dass die kinetische Energie bei doppelter Geschwindigkeit vier mal so hoch ist.

Wenn ein Auto durch die Antriebskraft beschleunigt wird, wird Arbeit geleistet. Die kinetische Energie (ohne Reibungsverluste usw.) entspricht der geleisteten Arbeit und nimmt mit der Geschwindigkeit zu. Bei konstanter Kraft F = m a bzw. konstanter Beschleunigung a nimmt die Geschwindigkeit nach der Formel v = a t zu, also in gleichen Zeitintervallen um den gleichen Betrag. Der dabei zurückgelegte Weg s = 1/2 a t^2 wird durch Integration berechnet.

Da Arbeit Kraft mal Weg ist, erhält man so die kinetische Energie, also

W = F s = F * 1/2 a t^2 = m a * 1/2 a t^2 = 1/2 *m * (at)^2 = 1/2 m v^2 = Ekin

Interessant wäre für Dich, zu verstehen, was s = Integral v(t) dt = Integral a * t dt = 1/2 at^2 bedeutet bzw. wie man darauf kommt. Erfunden wurde diese Integralrechnung auch von Leibniz. Vielleicht ist er so auch auf die vis viva gekommen.

[Agent Scullie]

Angenommen, das Auto fährt weiterhin 50 km/h und kollidiert mit einen entgegenkommenden Fahrzeug mit gleicher Geschwindigkeit, ist dann die kinetische Energie auch viermal so hoch? Jedes Fahrzeit hat doch nur ein Viertel der kineteischen Energie eins doppelt so schnellen Fahrzeuges. Wie wird aus 1+1 nun 4? Oder liegt der Fall hier anders.
Aufgrund der Relativität der Bewegung sollte dies Äquivalent mit einem Auto sein, dass mit 100 km/h mit einem parkenden PKW kollidiert.

aber dennoch finde ich es seltsam, dass die kinetische Energie bei doppelter Geschwindigkeit vier mal so hoch ist. Wenn zwei Geschosse mit einem bestimmten Impuls aufeinander zufliegen, dann ist die kinetische Energie viermal so hoch. Dabei brauchte man doch nur in jedem Geschoss ein Viertel der Gesamtenergie hineinstecken - also insgesamt die Hälfte. Woher kommt die vis viva?

Wenn ich auch nicht weiß, was eine "vis viva" ist (ist das Latein?): wenn ein Auto mit 100 km/h auf ein stehendes Auto prallt und beide sich ineinander verkeilen (total inelastischer Stoß), dann bewegen sich die ineinander verkeilten Autowracks zunächst mit 50 km/h in Richtung des zuvor mit 100 km/h fahrenden Autos weiter, es wurde also nur die Hälfte der kinetischen Energie des mit 100 km/h fahrenden Autos in die Verformungsarbeit der beide Autos gesteckt, die andere Hälfte ist nach wie vor als kinetische Energie vorhanden (natürlich nicht für lange, da die ineinander verkeilten Wracks durch die Rollreibung der Räder auf der Straße sehr bald zum Stillstand kommen). Wenn hingegen zwei Autos mit 50 km/h aufeinander prallen, stehen die beiden Autowracks sofort, es wird also die gesamte kinetische Energie in die Verformungsarbeit investiert.

Die Menge an in Verformungsarbeit gesteckt Energie ist also in beiden Fällen gleich. In konkreten Zahlen: sei die Masse jedes Auto 1000 kg, so hat bei zwei mit 50 km/h fahrenden Autos jedes Auto die kinetische Energie

1/2 mv^2 = (1/2) * (1000 kg) * (13,7 m/s)^2 = 96450 J

beide Autos zusammen somit 2 * 96450 J = 192900 J. Fährt hingegen eines der Autos mit 100 km/h, so ist seine kinetische Energie

1/2 mv^2 = (1/2) * (1000 kg) * (27,7 m/s)^2 = 385800 J

Nach dem Zusammenprall fahren beide Autos ineinander verkeilt mit 50 km/h weiter, haben also eine kinetische Energie von

1/2 mv^2 = (1/2) * (2000 kg) * (13,7 m/s)^2 = 192900 J

Das ist gerade die Hälfte der kinetischen Energie, die das mit 100 km/h fahrende Auto zuvor hatte. Die andere Hälfte wurde in die Verformungsarbeit gesteckt. In beiden Fällen beträgt die in die Verformungsarbeit gesteckte Energie also 192900 J.

Anders gesagt: die Verformungsarbeit ist immer nur die doppelte Energie, nicht die vierfache.

[julian apostata]

aber dennoch finde ich es seltsam, dass die kinetische Energie bei doppelter Geschwindigkeit vier mal so hoch ist.

Nehmen wir mal an, du ziehst um und hast 2 Wohnungen zur Auswahl.

Wohnung 1: 10 Meter über Erdgeschoß
Wohnung 2: 40 Meter über Erdgeschoß

Ist dir klar, dass du beim Möbelschleppen bei Wohnung 2 viermal so viel Arbeit hast, als bei Wohnung 1?

Jetzt wollen wir aber die Möbel per Katapult hoch schießen.

Welche Anfangsgeschwindigkeit müssen die Möbelstücke mindestens haben bei Wohnung 1 und Wohnung 2?

(g=9,81m/s²)

Wenn du diese Rechenaufgabe lösen kannst, dann sollte der Fall eigentlich klar sein.

Laut der Doku sagte sie: "Newton sagt, wenn wir die Geschwindigkeit der Kugel verdoppeln, wird sich auch zwangläufig die Tiefe des Eindrucks im Ton verdoppeln.“

Und dass Newton eine derartige Rechenaufgabe nicht lösen konnte, halte ich für extrem unwahrscheinlich. Der Autor dieses Filmbeitrags muss sich da also irgendeinen Quatsch aus den Fingern gesaugt haben.

[Halman]

Wenn ich auch nicht weiß, was eine "vis viva" ist (ist das Latein?)

Vermutlich. Vis viva bedeutet so viel wie lebendige Kraft. Aufmerksam wurde darauf aufgrund der Doku"E=mc² - Einsteins große Idee" und wenn Du magst, schaue doch bitte ab HIER für zwei Minuten hinein.

Vielen Dank für Deine Erklärung.

@julian apostata
Was meinst Du dazu?

Nehmen wir mal an, du ziehst um und hast 2 Wohnungen zur Auswahl.

Wohnung 1: 10 Meter über Erdgeschoß
Wohnung 2: 40 Meter über Erdgeschoß

Ist dir klar, dass du beim Möbelschleppen bei Wohnung 2 viermal so viel Arbeit hast, als bei Wohnung 1?

Ja, aber nicht 16 mal so viel. Der Doku zufolge muss ich aber annehmen, dass eine Kugel, die ich von Wohnung 2 fallen lassen, mit 16 mal höherer Wucht auf dem Boden prallt.

[Hades]

Ja, aber nicht 16 mal so viel. Der Doku zufolge muss ich aber annehmen, dass eine Kugel, die ich von Wohnung 2 fallen lassen, mit 16 mal höherer Wucht auf dem Boden prallt.

Die Erdanziehung ist eine Beschleunigte Bewegung, wenn die Wucht aus vierfacher Höhe nur viermal so hoch wäre, würden doch die Restlichen 30m keine weitere Beschleunigung auftreten.

[Agent Scullie]

Und dass Newton eine derartige Rechenaufgabe nicht lösen konnte, halte ich für extrem unwahrscheinlich.

in der Doku wird ja nicht gesagt, dass Newton die Aufgabe nicht hätte lösen können, vielmehr wird gesagt, dass er das falsche Ergebnis vorausgesagt hätte. AFAIK kannte Newton das Konzept der Energie noch nicht (die Idee, einer Größe, die sich aus der Integration der Kraft über den Weg, über den sie wirkt, ergibt, eine Bedeutung beizumessen, war ihm schlicht noch nicht gekommen), deswegen halte ich es für wahrscheinlicher, dass die Newton eine solche Rechenaufgabe tatsächlich nicht hätte lösen können. Ich halte es aber für möglich, dass er ein Ergebnis geschätzt hat, und diese seine Schätzung eben lautete, dass bei doppelter Geschwindigkeit der Kugel die Kuhle doppelt so tief sein würde.

[julian apostata]

Ja, aber nicht 16 mal so viel. Der Doku zufolge muss ich aber annehmen, dass eine Kugel, die ich von Wohnung 2 fallen lassen, mit 16 mal höherer Wucht auf dem Boden prallt.

Warum versuchst du nicht, die einfache Rechenaufgabe zu lösen, die ich gestellt habe?

v=wurzel(2*g*s)

Um also ein Möbelstück 10 m hoch zu schleudern, musst du das Katapult auf 14 m/s einstellen, um 4-fache Arbeit zu leisten (40m) reicht die doppelte Geschwindigkeit aus, also 28 m/s

Wie zum Geier kommst du also da auf die Zahl 16?

Und was verstehst du jetzt eigentlich unter Wucht? Eines von den Beiden?

Kinetische Energie=0.5*m*v² Impuls=m*v

Und wenn nicht, was ist dann Wucht für dich?

(die Idee, einer Größe, die sich aus der Integration der Kraft über den Weg, über den sie wirkt, ergibt, eine Bedeutung beizumessen, war ihm schlicht noch nicht gekommen)

Dann frag ich mich allerdings, wie es ihm gelungen sein soll, Keplers Erkenntnisse physikalisch zu deuten.

Wie sonst konnte er dann einen Zusammenhang zwischen Perigäums und Apogäumsgeschwindigkeit eines Planeten herstellen, wenn nicht so?

Kinetische Energie im Perigäum = kinetische Energie im Apogäum + zusätzliche potentielle Energie im Apogäum.

[Halman]

Warum versuchst du nicht, die einfache Rechenaufgabe zu lösen, die ich gestellt habe?

v=wurzel(2*g*s)

Um also ein Möbelstück 10 m hoch zu schleudern, musst du das Katapult auf 14 m/s einstellen, um 4-fache Arbeit zu leisten (40m) reicht die doppelte Geschwindigkeit aus, also 28 m/s

Wie zum Geier kommst du also da auf die Zahl 16?

Und was verstehst du jetzt eigentlich unter Wucht? Eines von den Beiden?

Schaue dazu einfach in die von mir verlinkte Doku hinein. Demgemäß griff Émilie du Châtelet auf ein Experiment von Willem Jacob ’s Gravesande zurück. Eine Kugel aus doppelter Höhe hinterlässt im Ton einen vier mal so tiefen Abdruck und nicht etwa nur zwei so tief. Die kinetische Energie quadriert sich also.
Bei vierfacher Höhe müsste die kinetische Energie also 16 mal so hoch sein (siehe dazu das in der Doku dargestellte Experiment).

Die Wucht eines Objektes hängt von der kinetischen Energie ab.

Wenn ich also ein Möbelstück zum 4 Stock trage, muss ich hierzu vier mal so viel Arbeit aufwenden. Wenn ich es aber aus dem Fenster schmeiße, schlägt es mit 16facher Wucht auf den Boden auf. Ist diese Aussage richtig oder falsch?

[Agent Scullie]

Schaue dazu einfach in die von mir verlinkte Doku hinein. Demgemäß griff Émilie du Châtelet auf ein Experiment von Willem Jacob ’s Gravesande zurück. Eine Kugel aus doppelter Höhe hinterlässt im Ton einen vier mal so tiefen Abdruck und nicht etwa nur zwei so tief.

nein, das wird da so nicht gesagt. Dort wird gesagt, er vergrößerte die Fallhöhe so, dass die Endgeschwindigkeit doppelt so hoch wurde. Um welchen Faktor er dazu die Fallhöhe vergrößerte, dazu findet sich keine Angabe. Zeitindex 8:47 - 8:56:

Gemäß Newtons Formeln, Monsieur Voltaire, lässt er ['s Gravesande] die zweite Kugel aus größerer Höhe fallen. Sie hat beim Aufprall genau die doppelte Geschwindigkeit wie die erste Kugel.

Die Wucht eines Objektes hängt von der kinetischen Energie ab.

Wenn ich also ein Möbelstück zum 4 Stock trage, muss ich hierzu vier mal so viel Arbeit aufwenden. Wenn ich es aber aus dem Fenster schmeiße, schlägt es mit 16facher Wucht auf den Boden auf. Ist diese Aussage richtig oder falsch?

falsch. Bei der vierfachen Fallhöhe wird bei konstanter Schwerebeschleunigung mitnichten die Endgeschwindigkeit viermal so groß. Es gilt ja schließlich nicht v = a*s, sondern v = a*t. Es müsste also die Fallzeit t viermal so groß sein, um auf die vierfache Geschwindigkeit zu kommen, nicht die Fallhöhe s. Für die Fallhöhe gilt

s = 1/2 a t^2

Das lässt sich umstellen zu

t = sqrt(2s/a) ~ sqrt(s)

Vervierfacht man also die Fallhöhe s, so wird die Endgeschwindigkeit v nur sqrt(4) = 2-mal so groß.

[Halman]

nein, das wird da so nicht gesagt. Dort wird gesagt, er vergrößerte die Fallhöhe so, dass die Endgeschwindigkeit doppelt so hoch wurde. Um welchen Faktor er dazu die Fallhöhe vergrößerte, dazu findet sich keine Angabe. Zeitindex 8:47 - 8:56:

Gemäß Newtons Formeln, Monsieur Voltaire, lässt er ['s Gravesande] die zweite Kugel aus größerer Höhe fallen. Sie hat beim Aufprall genau die doppelte Geschwindigkeit wie die erste Kugel.

Dnake für den Hinweis.

falsch. Bei der vierfachen Fallhöhe wird bei konstanter Schwerebeschleunigung mitnichten die Endgeschwindigkeit viermal so groß. Es gilt ja schließlich nicht v = a*s, sondern v = a*t. Es müsste also die Fallzeit t viermal so groß sein, um auf die vierfache Geschwindigkeit zu kommen, nicht die Fallhöhe s. Für die Fallhöhe gilt

s = 1/2 a t^2

Das lässt sich umstellen zu

t = sqrt(2s/a) ~ sqrt(s)

Vervierfacht man also die Fallhöhe s, so wird die Endgeschwindigkeit v nur sqrt(4) = 2-mal so groß.

Ja, logisch.

@julian apostata
Nun weiß ich, wo mein Fehler lag. Ich hatte "Châtelet" einfach falsch im Ohr. Von selbst wäre ich nie drauf gekommen (die eigenen Fehler sieht man bekanntlich häufig nicht, obgleich sie anderen geradezu ins Auge springen).

Dass aber bei doppelter Geschwindigkeit die "Wucht" vier mal so groß ist, finde ich schon bemerkenswert.