Punktrechnung vor Strichrechnung - Warum ?

[Tibo]

Wenn also 2+2+2+2+2+3 = 2*5+3 gelten soll, dann brauche ich Punkt vor Strich. Auf diese Art kann man die Klammern bei der Multiplikation weglassen.

Nee das gilt auch wenn ich einfach von links nach rechts rechne.

Die 2+4 (oder gleich die Summe daraus) kann dann ohne Klammern da stehen und die PvS Regel kommt gar nicht zur Anwendung. Habe ich das richtig verstanden ?

Nicht nur deshalb ist das einfacher, du kannst es dir dann aussuchen was du zuerst rechnest. Du kannst erst die 4 mit dem Nenner verechnen, dann steht im Nenner ne 1 und außerhalb des Bruchs ne 2, wichtig, ist dass du halt im Bruch erst den Zähler ausrechnest bevor du ihn mit der Zahl außerhalb des Bruchs verechnest. Der Bruchstrich ersetzt im Prinzip die Klammer.

[Tibo]

Klammern heben die PvS-Regel nicht auf, sie erweitert sie.

In konkreten Termen können Klammern die PvS natürlich aufheben im Sinne wie es Galactus meinte. Ich kann Klammern so setzen, dass Strichrechnungen von Punktrechnungen gerechnet werden müssen.
@Galactus: Die Rangfolge Klammer -> Punkt -> Strich gilt, ihr habt einander nur missverstanden. Und: Innere Klammeren vor äußeren ausrechnen.

[Barry L.]

2adf + 5gdf - 3bca + 7fds
würde
(2 * (a * d * f)) + (5 * (g * d * f)) - (3 * (b * c * a)) + (7 * (f * d * s))

Das würde sich zu (2 * a * d * f) + (5 *g * d * f) - (3 * b * c * a) + (7 * f * d * s) übersetzen.

Finde ich einleuchtend so. Aber warum spricht man dann von einer Konvention ? [...] Leuchtet mir aber wegen unterschiedlicher Ergebnisse nicht ein.

Weil es bloß eine Konvention ist. Wie gesagt, es besteht keine mathematische Notwendigkeit sie einzuführen und sie hat auch in keinsterweise mathematich Vorrang gegenüber der SvP Regel. Man muss sich hier klar machen worüber wir sprechen. Wir sprechen hier bloß über eine Art wie wir die Zusammenhänge niederschreiben.

Wenn wir 1 Birne und 3 Äpfel in einer Reihe liegen haben, dann haben wir insgesamt 4 Teile. Man hat sich nun auf PvS geeinigt, deswegen schreiben wir den Zusammenhang folgendermaßen auf

1 + 3*1 = 4

Bei SvP müsste man 1+(3*1) = 4 schreiben, denn 1+3*1 = 3.

D.h. um das selbe System (Apfel+Ei) zu beschreiben, muss es je nach Konvention verschieden aufgeschrieben werden, das ist der Unterschied. Man kommt zu verschiedenen Ergebnissen, weil man verschiedene Systeme mit der selben Schreibweise beschreibt, nicht weil die Mathematik davon beeinflusst wird.

Ich finde das schon sehr verwirrend. Wikipedia z.B. macht da sogar widersprüchliche Aussagen. Dort steht in etwa, daß sich die Konvention PvS an der allgemeinen Operatorrangfolge orientiert, die widerum wohl keine Konvention sein soll. Selbst wenn es eine Konvention ist, wundert mich doch, daß man ihr den Vorrang zu anderen Definitionen gibt. Das müßte eigentlich einen plausiblen Grund haben.

Widersprüchlich ist das nicht. Man "orientiert" sich bloß daran. In der Mathematik benutzt man Wörter sehr viel genauer als im Alltagsgebrauch. Gäb es da tatsächlich einen mathematischen Zusammenhang, dann hätte man geschrieben "leitet sich ab aus der Operatorreihenfolge". Und die Operatorreihenfolge ist in der Tat nur eine "Konvention" auch wenn man hier eher von einer Definition spricht.

Ich finde nur die Konventionserklärung merkwürdig. Ich kenne auch Leute, die sie ablehnen.

John von Neumann — 'Young man, in mathematics you don't understand things. You just geht used to them.'

Und was zeichnet die Leute aus, dass sie sich darüber eine Meinung bilden können? Sind das Mathematiker, Physiker, Informatiker oder Ingenieure? Ich glaube kaum, das es in irgendeinerweise einen Grund gibt sie abzulehnen. Allenfalls könnte es weniger Bequem sein, wenn man Ausdrücke mit PvS in eine Programmiersprache übersetzen möchte, ohne PvS.

Es war von einer Rangfolge: Klammer -> Punkt -> Strich die Rede.

Bloß eine Vervollständigung: Klammer > Potenz > Punkt > Strich

[Galactus]

Danke für die Erklärungen. Hilft mir sehr weiter.

Wenn wir 1 Birne und 3 Äpfel in einer Reihe liegen haben, dann haben wir insgesamt 4 Teile. Man hat sich nun auf PvS geeinigt, deswegen schreiben wir den Zusammenhang folgendermaßen auf

1 + 3*1 = 4

Bei SvP müsste man 1+(3*1) = 4 schreiben, denn 1+3*1 = 3.

Ähm... ist das ein Tippfehler, daß da 1 + 3 * 1 oben 4 und unten 3 ergibt ?

Bloß eine Vervollständigung: Klammer > Potenz > Punkt > Strich

Stimmt. Hatte ich in der Eile unter den Tisch fallen lassen.

[Barry L.]

Oben PvS unten SvP, daher verschiedene Ergebnisse.

[Tibo]

Um mal weiter zuvervollständigen: Wenn man gemischte Brüche miteinander multipliziert, gilt SvP. Also 2 1/2 *2 1/2 ist eben nicht 2 + 1+ 1/2 sondern 2,5 mal 2,5.

[Galactus]

Naja, ich stör mich halt an der 3.

Ich schreib das mal nur zur besseren Veranschaulichung mit Klammern.

Nach PvS: 1 + (3*1) = 1 + 3 = 4

Nach SvP: (1 + 3)*1 = 4 * 1 = 4 <------deswegen.

[Barry L.]

Haha, du hast Recht, ich hab mich einfach verrechnet und da es in dem Fall zum selben Ergebnis führt, ist das auch kein sinnvolles Beispiel!

Schreiben wir das Ganze so:
3*1 + 1 = 4 (Pvs)
3*1 + 1 = 6 (SvP)

[Galactus]

Passiert auch den besten der Besten. Nee, ehrlich...ich bin da im Moment sehr schüchtern weil ich in Mathe ein echter Laie bin und versuche mit meiner Alltagslogik an die Sache heranzugehen. Wie gesagt, ich hatte in meiner Schulzeit die PvS Regel auswendig gelernt und nie hinterfragt. Mir war auch nicht bewußt, daß es Konventionen in der Mathematik gibt. War ein viertelschwerer Kulturschock für mich.

[mastereder3000]

Streng mathematisch ist sowas wie 3*4+5 nicht definiert. Mathematische Operationen sind nämlich nur für zwei Operanden definiert. Um es wirklich richtig zu machen müsste man also immer die Klammer dazuschreiben. Da dies zu sehr viel Schreibarbeit und Unübersichtlichkeit führt, hat man, um die Klammern weglassen zu können, die PvS Konvention "eingeführt".

[Barry L.]

Doch ist es. Das ist eine Verkettung der Multiplikationsabbildung mit der Additionsabbildung:
Add: RxR -> R,
Mult: RxR -> R

Und jetzt verkettet man ganz nach Punkt vor Strich folgendermaßen:

Add(Mult(3*4), 5) = 12

Nun kann man eine Kurzschreibweise definieren für diesen Ausdruck: 3*4 + 5 = Add(Mult(3*4), 5). Das ist natürlich nicht mit Zahlen wohldefiniert, ich habe aber keine Lust mir gerade den korrekten Ausdruck zu überlegen

Mir war auch nicht bewußt, daß es Konventionen in der Mathematik gibt. War ein viertelschwerer Kulturschock für mich.

Im Grunde ist die Ganze Mathematik eine Konvention, da man sie von Grund auf bloß definiert. Aber das Ganze geht schon sehr ins Philosophische: Entdecken oder erfinden wir die Mathematik. M.E. entdecken wir sie.

[Barry L.]

Add(Mult(3*4), 5) = 12

Mit Zahlen habe ich es offenbar nicht so Es ist natürlich
Add(Mult(3*4), 5) = 17

[mastereder3000]

Nun kann man eine Kurzschreibweise definieren für diesen Ausdruck: 3*4 + 5 = Add(Mult(3*4), 5)

Kann man tun, ist es aber nicht. Diese Kurzschreibweise ist nicht definiert, sondern Konvention. Ein ungeschriebenes Gesetz so zu sagen. Also nein, ist nicht definiert.

[Wolf4310]

Um mal weiter zuvervollständigen: Wenn man gemischte Brüche miteinander multipliziert, gilt SvP. Also 2 1/2 *2 1/2 ist eben nicht 2 + 1+ 1/2 sondern 2,5 mal 2,5.

Wo ist bei 2 1/2*2 1/2 ein "Strich"(+ oder -) der vor dem "Punkt"(*,: oder /) gerechnet werden müsste?

[Barry L.]

Streng mathematisch ist sowas wie 3*4+5 nicht definiert. [...] Um es wirklich richtig zu machen müsste man also immer die Klammer dazuschreiben.[...]

Ok, du meinst damit also, dass Mathematiker solche Ausdrücke nicht explizit definieren. Das war für mich nicht ganz einleuchtend, da man auch "streng mathematisch" keine Klammern setzen muss.

Im Vorfeld, bevor man beginnt die Mathematik aufzuschreiben, einigt man sich ja schon auf eine Art der Formulierung, die die PvS beinhaltet und daher wird auch bspw. das Distributivgesetz nie mit Klammern geschrieben, sondern immer in der Form

a(b+c) = ab + ac.

Bist du Mathematiker?