Integral

[Gast]

Auch nach dem Abitur lässt mich die Mathematik nicht los.

Da ich hier diese Integralklammer nicht machen kann, setze ich dafür mal { ein.

Man ermittle das folgende Integral:

{(x² + 3x + 7)/(x³ + 4x² + 9x + 10)


Die Lösung sagt:
Man suche die Nullstelle unter den negativen Teilern von 10. Durch probieren ergiebt sich die Nullstelle bei x = -2

Dann kommt eine Polynomdivision:
(x³ + 4x² + 9x + 10)/(x+2) = x² + 2x + 5 = (x+1)² + 4

Dann:
(x² + 3x + 7)/(x² + 4x² + 9x + 10) = A/(x+2) + (Bx + C)/(x² + 2x + 5)

x² + 3x + 7 = A(x² + 2x + 5) + (Bx + C)(x+2) 
            = A(x² + 2x + 5) + Bx² + 2Bx + Cx + 2C

(I)   A + B = 1
(II)  2A + 2B + C = 3
(III) 5A + 2C = 7

C = 1
A = 1
B = 0


{ (x² + 3x + 7)/(x³ + 4x² + 9x + 10) dx 
= { dx/(x+2) 
= { dx/((x+1)² + 4)

ln|x+2| + 1/4 + { dx/(1 + ((x+1)/2)²

z(x) = (x+2)/2
dz/dx = 1/2
dx = 2dz

ln|x+2| + 1/2 { dz/(1+z²)
= ln|x+2| + 1/2 arctan z + C
= ln|x+2| + 1/2 arctan (x+2)/z + C

Die Frage klingt wohl komisch, aber könnte mir jemand bitte zumindest bis zum Gleichungssystem erklären, was hier eigentlich gemacht wird?

@Mods
Auch wenn langsam der Eindruck aufkommen dürfte, es ist nicht meine Absicht, dieses Forum mit sinnfreien Spaß-Mathethreads vollzupflastern.

[irony]

Die Frage klingt wohl komisch, aber könnte mir jemand bitte zumindest bis zum Gleichungssystem erklären, was hier eigentlich gemacht wird?

Eine Partialbruchzerlegung, siehe Partialbruchzerlegung ? Wikipedia . Erklären kann ich es dir aber nicht.

[Lord Rover]

Du bist ein Freak. Sich freiwillig am Wochenende mit Mathematik zu befassen ist doch krank.

Ich hab drei Kreuze gemacht, als ich dieses widerliche Fach endlich abwählen konnte. So schnell hab ich noch nie irgendwo ein "x" gesetzt wie da. Mal ernsthaft gefragt: wo im täglichen Leben läuft einem sowas über den Weg? Ich hab noch nie gedacht:"Mist, verdammt, wenn ich jetzt mal Integralrechnung oder Kurvendiskussion drauf hätte."

[Cordess]

Du bist ein Freak. Sich freiwillig am Wochenende mit Mathematik zu befassen ist doch krank.

Nö, mach ich doch auch.

Mal ernsthaft gefragt: wo im täglichen Leben läuft einem sowas über den Weg?

Nahezu in jedem ernstzunehmendem ingenieursmäßigem oder naturwissenschaftlichem Studium.

Da ich hier diese Integralklammer nicht machen kann, setze ich dafür mal { ein.

Integralzeichen ? Wikipedia
Unicode ? Wikipedia

Unicodezeichen ist: U+222b

∫

Wenn unter Windows alle Stricke reißen, dann kann man immer noch die Zeichentabelle nehmen Start->Alle Programme->Zubehör->Systemprogramme , da kann man den Code direkt eingeben und dann das Zeichen einfach via Copy & Paste kopieren und einfügen.
Ob es dann auch als Unicodezeichen angezeigt wird, ist abhängig vom Programm.
Moderne Browser sollten das aber ohne Probleme hinkriegen.


Unter Linux mit Gnome ist es nochmals deutlich bequemer.


Alternativ dazu kann man die Tastatur aber auch auf das Neo Layout umstellen, womit dann nahezu alle wichtigen mathematischen Zeichen leicht erreichbar sind.

http://www.neo-layout.org/

http://de.wikipedia.org/wiki/Neo_(Tastaturbelegung)

[Lord Rover]

Nö, mach ich doch auch.

Nix gegen Dich persönlich, aber Du bist nicht grad der beste Maßstab meiner Meinung nach.

Deine Rumdiskutierei hier für jeden Kram ist ja nu legendär.

Zur Kenntnisnahme: das war Ironie. Nicht, dass hier noch Palaver losbricht.

Und nebenbei: ja, mag sein, dass es für Studien wichtig ist, aber nicht für das alltägliche Leben eines Nichtstudierten. Daher wäre ich sowieso dafür, solche Mathematik nur den Schülern anzubieten, die auch den Kram studieren wollen, wo es benötigt wird. Aber nicht als generelles Unterrichtsthema.

[irony]

Und nebenbei: ja, mag sein, dass es für Studien wichtig ist, aber nicht für das alltägliche Leben eines Nichtstudierten.

Richtig, aber ich würde noch einen Schritt weiter gehen: Für das alltägliche Leben eines Nichtstudierten ist überhaupt nichts wichtig, was nach der mittleren Reife in der Schule behandelt wird.

Warum also überhaupt noch ein Abitur ? Warum nicht mit mittlerer Reife studieren ? Oder von mir auch aus Abitur mit zehn Jahren Schule ?

[Lord Rover]

Richtig, aber ich würde noch einen Schritt weiter gehen: Für das alltägliche Leben eines Nichtstudierten ist überhaupts nicht wichtig, was nach der mittleren Reife in der Schule behandelt wird.

Warum also überhaupt noch ein Abitur ? Warum nicht mit mittlerer Reife studieren ? Oder von mir auch aus Abitur mit zehn Jahren Schule ?

Man kann die drei Jahre Oberstufe ja gut als studienvorbereitendes Element betrachten. Wo die Schüler, die ein Studium anstreben, schonmal auf das, was sie an Unis und FH´s erwartet, vorbereitet werden können. Eine Höhere Handelsschule bereitet ja auch zum grossen Teil auf wirtschaftliche Aspekte vor.

Daher lehne ich Abitur absolut nicht ab. Wer das Zeug dazu hat, why not? Bis zur Fachhochschulreife habe ich es ja auch immerhin geschafft.

[irony]

Man kann die drei Jahre Oberstufe ja gut als studienvorbereitendes Element betrachten. Wo die Schüler, die ein Studium anstreben, schonmal auf das, was sie an Unis und FH´s erwartet, vorbereitet werden können.

Wozu dann aber drei Jahre Zeit verschwenden mit unsinnigen Vorbereitungen ?
Warum nicht gleich mit 16 an die Hochschule ? Was soll der ganze Quatsch ?

[Lord Rover]

Wozu dann aber drei Jahre Zeit verschwenden mit unsinnigen Vorbereitungen ?
Warum nicht gleich mit 16 an die Hochschule ? Was soll der ganze Quatsch ?

Was regst Du dich eigentlich ao auf? Sind es Deine drei Lebensjahre, die da flöten gehen oder die derjenigen, die diesen Weg wählen?

Es steht Dir doch frei, mit 16 von der Schule abzugehen. Wie lange haste denn dann noch?

Ich wage zu bezweifeln, dass ein/e 16-jährige/r in der Lage wäre, an einer Uni oder FH Fuss zu fassen.

[irony]

Was regst Du dich eigentlich ao auf? Sind es Deine drei Lebensjahre, die da flöten gehen oder die derjenigen, die diesen Weg wählen?

Du regst dich doch über den Unsinn von Mathematik in der Schule auf, weil das im täglichen Leben eines Nichtstudierten nicht benötigt wird. Die anderen Fächer sind doch noch größerer Quatsch, den man nie braucht oder auch genauso gut bei Wikipedia nachlesen kann. Wenn, dann ist Mathe das einzig sinnvolle Schulfach der Oberstufe überhaupt, weil man sich das nicht gut selbst beibringen kann.

Ich wage zu bezweifeln, dass ein/e 16-jährige/r in der Lage wäre, an einer Uni oder FH Fuss zu fassen.

Was hat das denn mit dem Alter zu tun ?

[Spooky Mulder]

Ich hasse Analysis und die Partialbruchzerlegung (zumindest die komplexe) war eine der fiesesten Sachen in Ana1. Mal schauen, ob ich das noch richtig auf die Reihe kriege:

Du hast hier eine rationale Funktion, d.h. ein Quotient zweier Polynome R(x)=P(x)/Q(x). Die sieht in der Tat hässlich aus und in dieser Form lässt sich wohl nur auf Rechnern eine Stammfunktion finden. Also vereinfachen wir das ganze.
Zuallererst zerlegen wir den Nenner in Linearfaktoren, kürzen also die Nullstellen raus (genauer gesagt Polstellen von R, da R dort Definitionslücken aufweist. Die Polstellen eingesetzt in P müssen ungleich 0 sein.) mithilfe einer Polynomdivision.

Jetzt folgt aus dem Satz über die Partialbruchzerlegung, dass es in deinem Beispiel komplexe Zahlen A, D und E sowie ein Polynom T(x) (mit kleinerem Grad als Q) gibt, sodass die Gleichung

R(x) = T(x) + A/(x+2) + D/(x-z2) + E/(x-z3) erfüllt ist; z2 und z3 sind sie anderen beiden Polstellen. Hab jetzt keine Lust, da rumzurechnen. Sie sind auf alle Fälle verschieden voneinander.

Hier ist T(x)=0. Da z2 und z3 anscheinend nicht reellwertig sind, hat der Autor der Lösung wohl die beiden hinteren Summanden zusammengefasst. Dann erhält man im Zähler ein Polynom ersten Grades. Das nennt er Bx+C, B und C reel. (edit: Im von tmf geposteten wikipedia-Artikel ist dieses Zusammenfassen der nicht-reellen Terme sogar explizit als Formel angegeben. Ich kenne es nur allgemein.)

Somit hast du also die Gleichung:
(x² + 3x + 7)/(x³ + 4x² + 9x + 10) = A/(x+2) + (Bx + C)/(x² + 2x + 5)

Multiplizierst das mit (x³ + 4x² + 9x + 10), setzt deine Polstellen (also x=-2...) ein und erhälst die drei Gleichungen, aus denen du A, B und C errechnen kannst. Soweit klar?

[Cordess]

ja, mag sein, dass es für Studien wichtig ist, aber nicht für das alltägliche Leben eines Nichtstudierten.

Das würde ich so pauschal nicht sagen.
Wer irgendeine Lehre im Bereich Elektrotechnik machen will, der wird IMO durchaus Grundlagen in der Differentialrechnung benötigen.
Und Fachinformatiker die irgendwas im 3d Bereich entwickeln wollen, die werden auch nicht um die Grundlagen der Vektorrechnung herumkommen.

Bezügl. der Hobbys ist es auch ne blöde Situation, wenn man als Amateurfunker, Hobbyspieleprogrammierer oder Elektrotechnikbastler mangels Grundlagenwissen in diesen mathematischen Themen nicht mehr weiterkommt, denn spätestens dann wünscht man sich, daß einem in der Schule im Fach Mathematik mehr beigebracht worden wäre.


Natürlich wird das alles nicht jeder in jedem Beruf brauchen oder einen derartigen Beruf wählen in dem das von Nutzen sein kann, aber gerade die, die auf derartige Hobbies Lust bekommen, die werden froh sein, da ein bischen etwas zu können.


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Cordess schrieb nach 5 Minuten und 30 Sekunden:

Wenn, dann ist Mathe das einzig sinnvolle Schulfach der Oberstufe überhaupt, weil man sich das nicht gut selbst beibringen kann.

Zum selber beibringen könnten die Bücher von Lothar Papula durchaus geeignet sein, aber es wäre natürlich deutlich mühseeliger, das ist klar und man müßte sich selbst motivieren diese 3 Bände auch durchzuarbeiten.

Eines der sinnvollsten Fächer ist Mathematik in der Oberstufe aber auf alle Fälle, blöd wird es halt nur dann, wenn der Mathelehrer das nicht vermitteln kann und er auch nicht in der Lage ist, den Schülern klarzumachen wofür das alles von Nutzen sein kann.
Denn pauschal aburteilende Sätze wie: "Das braucht ihr halt im Studium." sind meiner Meinung nach leider auch völlig unzureichend die Schüler dafür zu motivieren, praktischer ist es da, wenn der Mathelehrer auch sinnvolle Beispiele bringt, wo man das brauchen kann.

[irony]

Zum selber beibringen könnten die Bücher von Lothar Papula durchaus geeignet sein, aber es wäre natürlich deutlich mühseeliger, das ist klar und man müßte sich selbst motivieren diese 3 Bände auch durchzuarbeiten.

Irgendein langweiliges dickes Buch bringt mich jetzt auch nicht mehr weiter.
Ich klicke mich bei Wikipedia durch, so gut es geht, und wenn ich was nicht verstehe, habe ich halt Pech gehabt.

[Colonel O'Neill]

Irgendein langweiliges dickes Buch bringt mich jetzt auch nicht mehr weiter.
Ich klicke mich bei Wikipedia durch, so gut es geht, und wenn ich was nicht verstehe, habe ich halt Pech gehabt.

http://www.mathematik.uni-dortmund.d...07/partial.pdf

Dieses PDF hat mir damals gut geholfen, ich habe es ausgedruckt, die Beispiele nachgerechnet und bestimmte Stellen um Informationen und Tipps ergänzt.

[irony]

Dieses PDF hat mir damals gut geholfen, ich habe es ausgedruckt, die Beispiele nachgerechnet und bestimmte Stellen um Informationen und Tipps ergänzt.

Danke, aber ich versuche jetzt auch gar nicht Integralrechnung zu lernen.
Das ist SF-Junkys Problem .

Was ich meinte, war, dass ich allgemein, wenn mich etwas interessiert, mir keine dicken Bücher kaufe, sondern bei Wikipedia nachschlage. Das geht auch einfach schneller.

Der Haken ist, dass es darauf ankommt, wer den Artikel geschrieben hat.
Manchen gelingt es ganz gut, etwas kurz und knapp und trotzdem klar darzustellen, anderen nicht.