Loch durch den Erdkern? Was würde passieren?

[Halman]

Die Erdrotaton verhindert das "Bumerangen"

Ich bin zwar nur ein laie, also ich würde sagen der Stein pendelt eine weil hin und her, aber da die Masse der Erde nicht gleichmäßig verteilt ist, würde er irgendwann immer langsamer...

Wieso sollte er dadurch langsamer werden? Angenommen, der Stein prallt nicht gegen die Seite des Schachtes und fallt frei im Vakuum, so würde seine Impulsenergie doch erhalten bleiben.
Während er fällt, wird er immer schneller, bis er im Erdkern die höchste Geschwindigkeit erreicht und danach wird er wieder langsamer, bis er auf der anderen Seite die Richtung wechselt usw. - Der Stein tut "bumerangen".

Im Erdkern hat er die höchste Bewegungsenergie und an den Enden des Schachtes die höchste potentielle Energie.

Aber ich denke er würde nie stehen bleiben, er würde sich immer bewegen, wenn auch nur sehr langsam bzw. auf kurzen Abstand!

Im Gegenteil, er würde sich sogar sehr schnell bewegen. Um durch den Erschacht zu fallen bräuchte er keine Stunde.

Wie meinst Du das mit dem kurzen Abstand?

Wenn man jetzt noch den Mond, die Planeten, die Sonne und den ganzen anderen Kram im Sonnensystem berücksichtigt, fliegt der Stein irgendwann gegen eine der Wände!

Du meinst aufgrund der Gezeitenkräfte, welche die Gravitionsfelder von Sonne und Mond verursachen? Die defomieren die Erde geringfügig - hätte das einen ausschlaggebenden Einfluss auf den freien Fall des Steines?
Aufgrund der Erdrotation würde der Stein gegen die Seitenwand prallen, daher funktioniert das Bumerangen leider nicht.

[McWire]

Wenn der Stein in seiner Oszillation abgebremst wird, wodurch auch immer, wird er letztendlich im Schwerezentrum der Erde stehen bleiben, ja.

Die Hauptbremse wird wohl der Luftwiderstand* sein, da sich ein solcher Kanal schnell mit der Atmosphäre füllen würde. Im Erdinneren dürfte sich die Luft sogar so stark komprimieren, immerhin ist der Luftdruck von der Höhe der Luftsäule abhängig und die ist ja dann 6000 km tief, da der Stein schon nach den ersten beiden Pendelbewegungen extrem stark abgebremst wird.

* Luftwiderstand hängt vom Quadrat der Geschwindigkeit ab und die Fallbeschleunigung würde aufgrund von 6000 km Fallweg eine extrem starke Endgeschwindigkeit erzeugen.

[Halman]

@McWire

Sicher hast Du recht. Aber im Eröffungsposting ging Mr.X-Man davon aus, dass im Erinneren Vakuum herrscht, also in der Überlegung der Faktor Luft ausgeklammert wird.

[McWire]

@McWire

Sicher hast Du recht. Aber im Eröffungsposting ging Mr.X-Man davon aus, dass im Erinneren Vakuum herrscht, also in der Überlegung der Faktor Luft ausgeklammert wird.

Wenn man den Luftwiderstand ausklammert, würde dass Objekt eine ziemlich große Endgeschwindigkeit erreichen.

Sagen wir mal der Stein hat meine Masse von 5 kg.

Die potentielle Energie beträgt demnach Ep=m*g*h = 5 kg * 6.700.000 m * 9,80665 m/s² = 328.522.775 Joule.
Wenn diese exakt im Erdmittelpunkt vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird, hat der Stein eine Maximalgeschwindigkeit von

Ek = Ep = m/2*v² -> v = Wurzel(2*Ep/m) = Wurzel (2 * 328.522.775 / 5) = 11.463,4 m/s ~ 11,5 km/s

d.h. der würde mit 34,3-facher Schallgeschwindigkeit den Mittelpunkt der Erde passieren.

Selbst wenn man da den Luftwiderstand weg lässt, dürfte ein Objekt mit dieser Geschwindigkeit Energie an das irdische Magnetfeld verlieren, da bei gewöhnlichem Gestein mit Metalleinschlüssen durchaus beachtliche Induktionsspannungen entstehen dürften. Immerhin ist das Magnetfeld der Erde im Inneren noch viel stärker als auf der Oberfläche.

Ein Brocken aus Eisen würde meiner Meinung wahrscheinlich aufgrund der entstehenden Wirbelströme bei 11 km/s einfach verglühen.

[Cordess]

die Gravitation eines einzelnen Massenelements nimmt quadratisch mit der Entfernung von diesem Massenemelement ab. Innerhalb der Erde hast du aber ganz viele Massenelemente in unterschiedlichen Entfernungen um dich herum. Du musst daher deren Gesamtgravitationswirkung aufsummieren. Und dabei zeigt sich, dass netto nur eine Gravitationskraft zum Erdmittelpunkt hin vorhanden ist, weil sich die Kräfte in alle anderen Richtungen gegenseitig aufheben.

Bist du dir da sicher?

Wenn der Stein zwischen zwei Seiten hin und herpendelt, dann hat er an beiden Seitenenden die geringste Geschwindigkeit bzw. die Geschwindigkeit 0 km/h und im Mittelpunkt ein Geschwindigkeitsmaximum.
Würde er aber nun an einem Seitenende ankommen, dann müßte auch dort dann die gravitative Wirkung dieser Seite größer sein als auf der gegenüberliegenden Seite, weil diese ja weiter weg ist und die Gravitationswirkung mit der Entfernung abnimmt.
Gegenseitig aufheben tun sich meiner Vorstellung nach die Gravitationskräfte also eigentlich nur im Mittelpunkt des kugelförmigen Hohlkörpers während die Kräfte nach außen hin zugunsten der dortigen Seitenmasse zunimmt.

Und da die Geschwindigkeit des Steines nun dort 0 erreicht, besteht die Möglichkeit daß der Stein von der Außenwand durch ihre Masse und stärkeren Gravitationswirkung durch ihre Nähe angezogen wird.
Ob das aber so ist hängt von mehreren Faktoren ab.
1. Dem Abstand zur Seite wenn der Stein die Geschwindigkeit 0 erreicht
und
2. Der Masse dieser Seite bzw. ihrer dort dann vorherrschenden Gravitationswirkung auf den Stein.



Alternativ könnten wir uns das Modell auch vereinfachen.
Seien es 2 identische Sterne die um einen gedachten Mittelpunkt kreisen und zwischen diesen Sternen pendelt nun ein Stein.
Wäre es nun nicht möglich, daß ein Stern diesen Stein zu sich zieht und in seine eigene sehr nahe Umlaufbahn bringt oder verschlingt oder gar hinausschleuidert?

[MoNoSToNe]

Bist du dir da sicher?

Ja da sind wir uns sicher, das lässt sich auch beweisen :P

Traditionell wird das ja für eine Holkugel gezeigt, lässt sich aber auch für einen Hohlzylinder zeigen. Ich habe mir die Mühe gemacht und es in einer pdf zusammengeschrieben (ich hoffe mal, dass mir keine gröberen Fehler passiert sind, aber falls doch bleiben die wahrscheinlich sowieso nicht lange unentdeckt ).

Ist allerdings ein bisschen Mathematik drinnen und vielleicht nicht sofort verständlich; ich habe mich bemüht es einfach zu halten.

Es ist somit schlicht eine mathematische Konsequenz, dass sich die Kräfte gegenseitig aufheben, auch wenn das auf dem ersten Blick ein wenig irritierend sein mag

[Cordess]

Besten Dank für das PDF Dokument und den mathematischen Beweis, jetzt glaube ich es.

[MoNoSToNe]

Ein formaler Fehler ist mir doch noch aufgefallen (das kommt davon, wenn man die Hohlkugel zu sehr im Hinterkopf hat): Die Lösung gilt eigentlich nur für sehr kleine Zylinderhöhen h (oder h geht gegen unendlich, aber diesen Fall wollen wir mal nicht behandeln). Wir können die Lösung aber trotzdem verwenden, indem wir einen ausgedehnten Zylinder aus vielen Teilzylindern der sehr kleinen Höhe h aufbauen. Dann gibt es tatsächlich eine Kraft, die allerdings nur eine Komponente in z-Richtung (also in Ausdehnungsrichtung des Zylinders) aufweist und auf halber Höhe des Zylinders verschwindet. Meine Lösung zeigt also nur, dass es keine Kräfte zu den Zylinderwänden gibt. Eine Kraft hinunter gibt es sehr wohl, aber das wurde richtigerweise in diesem Thread bereits erwähnt.

[bozano]

@McWire
Müsste bei deiner Rechnung auch noch berücksichtigt werden, dass die Erdbeschleunigung "g" nicht konstant ist, sondern von der Höhe abhängt?
Für berechnungen auf der Erde, bei denen die Höhenunterschiede im Verhältnis zum Abstand zum Erdmittelpunkt nicht ins Gewicht fallen, kann man mit Sicherheit "g" als konstant annehmen.

[McWire]

@McWire
Müsste bei deiner Rechnung auch noch berücksichtigt werden, dass die Erdbeschleunigung "g" nicht konstant ist, sondern von der Höhe abhängt?
Für berechnungen auf der Erde, bei denen die Höhenunterschiede im Verhältnis zum Abstand zum Erdmittelpunkt nicht ins Gewicht fallen, kann man mit Sicherheit "g" als konstant annehmen.

Ja natürlich ist dem so. Ich habe die Rechnung absichtlich vereinfacht, weil ich mir jetzt für so eine Randbemerkung keine Mühe machen wollte eine Differentialgleichung zu lösen.

Statt g müsste man g(h) einsetzen, welche sich wiederum aus der Summe der Beschleunigungen durch die untere und obere Erdmasse zusammen setzt.

Tatsächlich erhöht sich die Schwerebeschleunigung linear mit der wirksamen Masse, fällt aber quadratisch mit dem Abstand vom theoretischen Massepunkt ab.

Jetzt kommt es nun auf die Verteilung der Masse an, wie sich das Verhältnis m/r² im Erdinneren verhält.

Würde m/r² und damit g linear abfallen, wäre der reale Wert nur halb so groß wie mein errechneter, weil dann das arithmetische Mittel g/2 zählen würde.

Egal wie man es rechnet, wird aber auf jeden Fall ein Wert im Bereich von mehreren km/s und somit von mehreren zig-facher Schallgeschwindigkeit dabei heraus kommen.

[Halman]

Ja, er würde schlicht hin und her pendeln.

Und dabei wäre der Stein vollkommen gewichtlos. Anstelle vom freien Fall könnte man auch vom >freien Schweben< sprechen. (vorrausgesetzt, er prallt nicht gegen die Tunnelwand )

[bozano]

Jetzt kommt es nun auf die Verteilung der Masse an, wie sich das Verhältnis m/r² im Erdinneren verhält.

Würde m/r² und damit g linear abfallen, wäre der reale Wert nur halb so groß wie mein errechneter, weil dann das arithmetische Mittel g/2 zählen würde.

Da die Massen konstant bleiben, sich aber die höhe und damit g ändert und g bei kleinerem Abstand zum Schwerpunkt größer wird, hätte ich eher vermutet, die Beschleunigung und damit die Geschwindigkeit würde zunehmen und nicht etwa abnehmen?

[Dannyboy]

Da die Massen konstant bleiben, sich aber die höhe und damit g ändert und g bei kleinerem Abstand zum Schwerpunkt größer wird, hätte ich eher vermutet, die Beschleunigung und damit die Geschwindigkeit würde zunehmen und nicht etwa abnehmen?

Der Schwerpunkt enthält aber nicht mehr die Gesamterdmasse, sondern nur noch den Anteil der "Unterhalb" unseres fallenden Objekts ist.
Da mit dem Fall ins Erdinnere die zu betrachtende Masse "unterhalb" immer kleiner wird, während die Masse oberhalb immer größer, muss die Erdbeschleunigung nach "unten" immer kleiner werden.

[Halman]

Der Schwerpunkt enthält aber nicht mehr die Gesamterdmasse, sondern nur noch den Anteil der "Unterhalb" unseres fallenden Objekts ist.
Da mit dem Fall ins Erdinnere die zu betrachtende Masse "unterhalb" immer kleiner wird, während die Masse oberhalb immer größer, muss die Erdbeschleunigung nach "unten" immer kleiner werden.

Das klingt logisch. Aber da in einem Vakuum-Tunnel nichts der Beschleunigung entgegenwirkt, müsste die Geschwindigkeit (auch bei geringerer Gschwindigkeitssteigerung) immer mehr zunehmen. Sie hätte im Kern den höchsten Wert und würde danach wieder abnehmen, bis sie am anderen Tunnelende den Wert Null erreicht, der Stein fällt wieder zurück und das Spiel beginnt von neuem.

[McWire]

Das klingt logisch. Aber da in einem Vakuum-Tunnel nichts der Beschleunigung entgegenwirkt, müsste die Geschwindigkeit (auch bei geringerer Gschwindigkeitssteigerung) immer mehr zunehmen. Sie hätte im Kern den höchsten Wert und würde danach wieder abnehmen, bis sie am anderen Tunnelende den Wert Null erreicht, der Stein fällt wieder zurück und das Spiel beginnt von neuem.

Ich habe mit dem Wert g ja nur die potentielle Energie an der Oberfläche berechnet, womit g ja nun wirklich die Fallbeschleunigung an der Oberfläche meint.

Aus dieser potentiellen Energie, ergibt sich im freien Fall durch ein Vakuum natürlich die kinetische Energie ohne Rücksichtnahme auf Reibungsverluste.
Die potentielle Energie wird beim Fall natürlich geringer, da die Schwerebeschleunigung g mit der Tiefe abnimmt und viel wichtiger, sie ja in kinetische Energie umgewandelt wird.

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