Zerfall von Photonen nicht ausgeschlossen (Haben Photonen Ruhemasse?)

[Agent Scullie]

Wollte man völlig korrekt vorgehen, so dürfte ich bei einer Photnenmasse m=0 gar nicht teilen.

warum nicht? Das m in der Formel ist ja die Masse des Torpedos, nicht irgendeines Photons. Es sei denn, du willst das Photon selbst als Torpedo betrachten, dann aber darfst du für die Energie E' des Photons im Raumschiffsystem gar nicht erst die Formel für Teilchen mit Masse:

E' = m c^2 / sqrt(1 - u^2/c^2)

anwenden. Willst du den relativistischen Dopplereffekt berechnen, so musst du die Lorentz-Trafo auf den Energie-Impuls-Vierervektor des Photons anwenden: sei p'^mu = (E'/c, p_x', 0, 0) der Energie-Impuls-Vierervektor im Raumschiffbezugssystem, so gilt für den entsprechenden Vektor p^mu im Sonnenbezugssystem

p^mu = L^mu_nu p'^nu

Willst du die Komponten p^0 = E/c, also die Energie, betrachten, so gilt

p^0 = E/c = L^0_0 p'^0 + L^0_1 p'^1 = L^0_0 E'/c + L^0_1 p_x'

= E' / (c sqrt(1 - v^2/c^2)) + p_x' v / (c sqrt(1 - v^2/c^2))

= 1/sqrt(1 - v^2/c^2) (E'/c + p_x' v/c)

Nun gilt für ein Photon, das sich in x-Richtung bewegt, p_x' = E'/c, so dass

E/c = 1/sqrt(1 - v^2/c^2) (E'/c + E' v/c^2)

= E'/c (1 + v/c) / sqrt(1 - v^2/c^2)

und folglich

E/E' = (E/c) / (E'/c) = (1 + v/c) / sqrt(1 - v^2/c^2)

was du in

E/E' = (1 + v c / c^2) / sqrt(1 - v^2/c^2)

umformen kannst,

Haben aber Photonen eine geringe Masse und u wäre geringfügig langsamer als c, dann wäre Alles voll korrekt.

sonst auch. Jedenfalls wenn du die Regeln korrekt anwendest (z.B. dass die Regel für Teilchen mit Masse auch nur für Teilchen mit Masse gilt).

Oder sieht jemand trotzdem noch einen Fehler in der Rechnung?

ja. Du willst für masselose Teilchen die Regeln für Teilchen mit Masse anwenden.

- - - Aktualisiert - - -

Mein Verständnis beschränkt sich auf Folgendes: Theoretisch haben Photonen keine Masse. Sie haben lediglich einen Impuls.

eine Energie haben sie daneben auch noch. Sagst du ja selber:

Die Energie eines Quants ergibt sich aus E=hν. Das planck'sche Wirkungsquantum (6,626 069 57 × 10^–34Js) stelle ich mir einfach als sehr kleine Zahl vor. Das griechische ν (ny) steht für die Frequenz. Da h eine Naturkonstante ist, ergibt sich somit die Energie eines Photons aus seiner Frequenz (sofern ich mich nicht irre, hat ein „blaues“ Photon etwa doppelt so viel Energie wie ein „rotes“ Photon.)

Wie würde sich die Rechnung für den Fall ändern, wenn ein Gammaquant eine Ruhemasse
von <10^-18 e^V (= 2 × 10^-54 Kg) hätte?

überhaupt nicht. Die Beziehung E = h ny gilt unabhängig von der Masse. Da außerdem für den Impuls p = hquer k gilt, wobei k = 2pi/lambda die sog. Wellenzahl ist mit lambda=Wellenlänge, gilt für Teilchen mit Masse

(ny/c)^2 = (m c)^2 + (2pi k)^2

Da dies für Dich sicher zu ungenau ist, verweise ich auf den unteren Link (insbesondere dem unteren Abschnitt "Anmerkung zur Masse"):
Masse und Impuls der Photonen

also zumindest die dortige Herleitung der gravitativen Rotverschiebung solltest du lieber ganz schnell vergessen. Zumindest, wenn du an einem korrekten Verständnis der gravitativen Rotverschiebung auf der Grundlage der ART interessiert bist.

[Halman]

eine Energie haben sie daneben auch noch. Sagst du ja selber:

Danke für den Hinweis - dies werde ich mir merken. (Kann ja auch gar nicht anders sein.)

überhaupt nicht. Die Beziehung E = h ny gilt unabhängig von der Masse. Da außerdem für den Impuls p = hquer k gilt, wobei k = 2pi/lambda die sog. Wellenzahl ist mit lambda=Wellenlänge, gilt für Teilchen mit Masse

(ny/c)^2 = (m c)^2 + (2pi k)^2

Danke für die Erklärung.

also zumindest die dortige Herleitung der gravitativen Rotverschiebung solltest du lieber ganz schnell vergessen. Zumindest, wenn du an einem korrekten Verständnis der gravitativen Rotverschiebung auf der Grundlage der ART interessiert bist.

Ja, natürlich bin ich daran interessiert. Was ist denn daran falsch?

Mir ging es in dem Link vorwiegend um den letzten Abschnitt "Anmerkung zur Masse". Ist dieser fachlich korrekt?

[julian apostata]

@Agent Scullie

Mir ist jetzt nicht ganz klar, ob du mich richtig verstanden hast.

Deswegen mal ein einfaches Rechenbeispiel. Raumschiffgeschwindigkeit v=0,8*c Torpedogeschwindigkeit u=0,6*c. Torpedoenergie im Raumschiffsystem: m*c²/wurzel(1-0.6²)=1.25*m*c²

Torpedogeschwindigkeit in Fahrtrichtung (im Sonnensystem)=35/37*c. Torpedoenergie=m*c²/wurzel(1-35²/37²)=37/12*m*c²=2.466666..mal so viel wie im Raumschiffsystem (Schnittpunkt mit grüner Linie)

Torpedogeschwindigkeit entgegen Fahrtrichtung (im Sonnensystem)=5/13*c. Torpedoenergie=m*c²/wurzel(1-5²/13²)=13/12*m*c²=0.8666666..mal so viel wie im Raumschiffsystem (Schnittpunkt mit roter Linie)

Bist du mit mir jetzt soweit einig, dass man die einfache blaue Geradengleichung zumindest in den Intervallgrenzen -c>u>c zeichnen darf?

Funktionsplotter, Funktionenplotter: Funktionsgraphen online berechnen!
(1+0.8*x)/0.6
13/15
37/15

[irony]

Und was ist mit der Helizität/Polarisation von Photonen, die eine Ruhemasse haben?

[Halman]

Und was ist mit der Helizität/Polarisation von Photonen, die eine Ruhemasse haben?

Da sprichst Du einen interessanten Punkt an.

Während etwa der Elektronenspin parallel oder antiparallel zu einer beliebig vorgegebenen Richtung ist[5], kann der Photonenspin wegen fehlender Masse nur parallel oder antiparallel zur Flugrichtung orientiert sein. Die Helizität des Photons ist daher eine charakteristische Größe

Zitatquelle: Photon ? Wikipedia

Darf ich daraus ableiten, dass der Spin massebehafteter Photonen ebenso beliebig zur Bewegungsrichtung wäre, wie bei Elektronen? Wäre dies nicht eine Möglichkeit, die Theorie von massebehafteten Photonen zu überprüfen?

[Agent Scullie]

Ja, natürlich bin ich daran interessiert. Was ist denn daran falsch?

in der ART gibt es keine gravitative potentielle Energie. Und schon gar nicht muss man zur Berechnung der gravitativen Rotverschiebung so tun als ob Photonen eine Masse hätten oder vorübergehend in Teilchen mit Masse umgewandelt werden. Um die gravitative Rotverschiebung zu berechnen, die ein Beobachter an einer Position x_B an einer Lichtquelle, die sich an der Position x_A befindet, misst, betrachtet man die 00-Komponente des metrischen Tensors an den beiden Positionen x_A und x_B. Sei 1+z der Rotverschiebungsfaktor, so gilt

1+z = sqrt(g_00(x_B) / g_00(x_A))

Im Newtonschen Grenzfall gilt

g_00(x) = 1 + 2 Phi_N(x)/c^2

wobei Phi_N das Newtonsche Gravitationspotential ist. Wählt man dies so, dass Phi_N(x_A) = 0 und Phi_N(x_B) = g h, wobei g die Schwerebeschleunigung ist und h der Höhenunterschied zwischen x_A und x_B, so kommt

1+z = sqrt(1 + 2 g h / c^2)

heraus, was näherungsweise (per Taylor-Entwicklung der Wurzelfunktion)

1+z = 1 + g h / c^2

ergibt. Das Ergebnis im Link stimmt zwar damit überein, aber die beim Berechungsweg gemachten Annahmen sind falsch.

Mir ging es in dem Link vorwiegend um den letzten Abschnitt "Anmerkung zur Masse". Ist dieser fachlich korrekt?

das kann man so gelten lassen.

- - - Aktualisiert - - -

Bist du mit mir jetzt soweit einig, dass man die einfache blaue Geradengleichung zumindest in den Intervallgrenzen -c>u>c zeichnen darf?

du meinst, es ging dir darum, dass der Grenzfall für u -> c mit der Formel für den relativistischen Dopplereffekt übereinstimmt? Ja, das ist korrekt. Ändert aber natürlich nichts daran, dass die Berechnung des relativistischen Dopplereffekts mit masselosen Photonen richtig ist.

[julian apostata]

Wie würde sich die Rechnung für den Fall ändern, wenn ein Gammaquant eine Ruhemasse
von <10^-18 e^V (= 2 × 10^-54 Kg) hätte?

Die Rechnung ist einfach, wenn wir nur das Verhältnis von Ruheenergie und Energie des Teilchens haben. Nehmen wir mal ein Gammaquant mit 2*10^-30kg *c² an Energie.

Dann liegt das Verhältnis bei 10^-24



Die Sache lässt sich nun schon fast im Kopf ausrechnen.

Also 10^-48 mal (halbe Lichtgeschwindigkeit)=1,5*10^-40m/s

Um diesen Betrag wäre also unser Gammaquant langsamer, als unsere „eigentliche Lichtgeschwindigkeit“

Übrigens. Hier gibt‘s eine neue Möglichkeit, um mathematische Gleichungen zu präsentieren.

Texify - Online LaTeX equation writer

[julian apostata]

@Agent Scullie

http://www.scifi-forum.de/off-topic/off-topic-allgemein/technik-wissenschaft/75325-zerfall-photonen-ausgeschlossen-haben-photonen-ruhemasse.html#post2880034

Ich würde gern da drauf noch mal zu sprechen kommen. Nur leider bleib ich bei deiner Rechnung spätestens an der Stelle hängen und komm einfach nicht weiter.

Es sei denn, du willst das Photon selbst als Torpedo betrachten, dann aber darfst du für die Energie E' des Photons im Raumschiffsystem gar nicht erst die Formel für Teilchen mit Masse:

E' = m c^2 / sqrt(1 - u^2/c^2)

anwenden. Willst du den relativistischen Dopplereffekt berechnen, so musst du die Lorentz-Trafo auf den Energie-Impuls-Vierervektor des Photons anwenden: sei p'^mu = (E'/c, p_x', 0, 0) der Energie-Impuls-Vierervektor im Raumschiffbezugssystem, so gilt für den entsprechenden Vektor p^mu im Sonnenbezugssystem

p^mu = L^mu_nu p'^nu

p'^nu ist doch der Impulsvektor im Raumschiffsystem, oder?
p^mu ist doch der Impulsvektor im Sonnensystem, oder?

Was ist dann L^mu? Ist es ein Skalar? Dann gälte: L^mu=0

Oder handelt es sich um ein Vektorprodukt?

Also mit anderen Worten: Wenn du mir deine Rechnung wenigstens mal bis zu der Stelle erläutern könntest, vielleicht käme ich dann auf den Rest von selbst.

Weil interessieren würde mich das schon, wie du nachträglich auf die relativistische Geschwindigkeitsaddition kommst.

[irony]

p'^nu ist doch der Impulsvektor im Raumschiffsystem, oder?
p^mu ist doch der Impulsvektor im Sonnensystem, oder?

Was ist dann L^mu? Ist es ein Skalar? Dann gälte: L^mu=0

Oder handelt es sich um ein Vektorprodukt?

p^mu = L^mu_nu p'^nu ist eine lineare Transformation kontravarianter Vektoren mit einsteinscher Summenkonvention:

Über doppelt auftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert. In der Relativitätstheorie gilt als zusätzliche Regel: Summiert wird nur, wenn der Index sowohl als oberer (kontravarianter) und als unterer (kovarianter) Index auftritt.

nu ist der Summationsindex.

[Halman]

Übrigens. Hier gibt‘s eine neue Möglichkeit, um mathematische Gleichungen zu präsentieren.

Texify - Online LaTeX equation writer

Danke für diesen hilfreichen Link. Kann man damit auch quantenmechanische Formeln mit der dirac'schen Notation, dem bra-ket, schreiben? Ich meine sowas wie: |Ψ>=1/√2(|zerfallen> + |unzerfallen>).

[julian apostata]

p^mu = L^mu_nu p'^nu ist eine lineare Transformation kontravarianter Vektoren mit einsteinscher Summenkonvention:
nu ist der Summationsindex.

Könntest du das auch anhand des Raumschiff-Torpedo-Beispiels erläutern? Weil das hilft mir jetzt echt nicht weiter.

Danke für diesen hilfreichen Link. Kann man damit auch quantenmechanische Formeln mit der dirac'schen Notation, dem bra-ket, schreiben? Ich meine sowas wie: |Ψ>=1/√2(|zerfallen> + |unzerfallen>).

Da bin ich momentan überfragt, weil mein alter Latex-Generator funktioniert nicht mehr.

Du kannst aber mal hier schauen, ob du was findest.

LaTeX Online Formel-Editor

Wenn die Gleichung fertig ist, den Code einfach nach hier kopieren…

Texify - Online LaTeX equation writer

Auf „Texify“ drücken und das was bei „Code for Forums“ steht, einfach rüber kopieren.

Aber ehrlich gesagt, werd ich aus dir ja überhaupt nicht schlau.

Warum interessierst du dich für Formeln der höheren Mathematik, wenn du selber sagst, dass du schon mit einfacher Realschulmathematik Probleme hast?

[Agent Scullie]

Ich würde gern da drauf noch mal zu sprechen kommen. Nur leider bleib ich bei deiner Rechnung spätestens an der Stelle hängen und komm einfach nicht weiter.



p'^nu ist doch der Impulsvektor im Raumschiffsystem, oder?
p^mu ist doch der Impulsvektor im Sonnensystem, oder?

Was ist dann L^mu? Ist es ein Skalar? Dann gälte: L^mu=0

Oder handelt es sich um ein Vektorprodukt?

L^mu_nu ist die Lorentz-Transformationsmatrix. L^mu_nu p'^pu ist dann das Produkt aus der Matrix L^mu_nu und dem Vektor p'^nu. Wie irony schon schrieb, muss dabei über den Index nu summiert werden, der Ausdruck p^mu = L^mu_nu p'^nu steht also für:

p^0 = L^0_0 p'^0 + L^0_1 p'^1 + L^0_2 p'^2 + L^0_3 p'^3
p^1 = L^1_0 p'^0 + L^1_1 p'^1 + L^1_2 p'^2 + L^1_3 p'^3
p^2 = L^2_0 p'^0 + L^2_1 p'^1 + L^2_2 p'^2 + L^2_3 p'^3
p^3 = L^3_0 p'^0 + L^3_1 p'^1 + L^3_2 p'^2 + L^3_3 p'^3

Nun sind allerdings außer L^0_0, L^0_1, L^1_0, L^1_1, L^2_2 und L^3_3 alle Komponenten der Matrix null, so dass

p^0 = L^0_0 p'^0 + L^0_1 p'^1
p^1 = L^1_0 p'^0 + L^1_1 p'^1
p^2 = L^2_2 p'^2
p^3 = L^3_3 p'^3

Zudem sind L^2_2 und L^3_3 beide gleich 1, so dass nur die ersten beiden Zeilen wirklich interessant sind:

p^0 = L^0_0 p'^0 + L^0_1 p'^1
p^1 = L^1_0 p'^0 + L^1_1 p'^1

Nun gilt:

L^0_0 = L^1_1 = 1/sqrt(1 - v^2/c^2)
L^0_1 = L^1_0 = +/- v / (c sqrt(1 - v^2-c^2)

wobei das Vorzeichen in L^0_1 und L^1_0 davon abhängt, ob die Relativbewegung der Bezugssysteme in positive oder negative x-Richtung erfolgt. Üblicherweise betrachtet man eine Bewegung in positive x-Richtung, dann ist das Vorzeichen negativ. Du aber hast eine Bewegung in negative Richtung betrachtet (Bewegung des Sonnenbezugssystems relativ zum Raumschiffbezugssystem), daher ist das Vorzeichen positiv.

Zur Lorentz-Transformationsmatrix L^mu_nu siehe auch z.B.

Lorentz-Transformation ? Wikipedia

oder

http://itp1.uni-stuttgart.de/lehre/vorlesungen/rela2/ss2011/SRT.pdf

Kap. 2.1 (zur Indexschreibweise mit mu und nu siehe auch Kap 4.1.2 und 4.3).

Weil interessieren würde mich das schon, wie du nachträglich auf die relativistische Geschwindigkeitsaddition kommst.

Dazu, wie man aus der Lorentz-Trafo die relativistischen Geschwindigkeitsaddition erhält, solltest du im Netz jede Menge Quellen finden.

[Halman]

Du kannst aber mal hier schauen, ob du was findest.

LaTeX Online Formel-Editor

Wenn die Gleichung fertig ist, den Code einfach nach hier kopieren…

Texify - Online LaTeX equation writer

Auf „Texify“ drücken und das was bei „Code for Forums“ steht, einfach rüber kopieren.

Danke für die Links.

Als Beispiel habe ich folgendes eingeben:
|psi\rangle=1\sqrt2(|zerfallen\rangle+|unzerfallen\rangle)

Code für Websides:
<img alt="|psi\rangle=1\sqrt2(|zerfallen\rangle+|unzerfallen\rangle)" src=http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%7Cpsi%5Crangle%3D1%5Csqrt2%28%7Czerfallen%5Crangle%2B%7Cunzerfallen%5Crangle%29.gif align=center border=0>

Das Ergebnis sieht dann so aus:

Aber ehrlich gesagt, werd ich aus dir ja überhaupt nicht schlau.

Warum interessierst du dich für Formeln der höheren Mathematik, wenn du selber sagst, dass du schon mit einfacher Realschulmathematik Probleme hast?

Nun, ich interessisere mich schon seit meiner Kindheit für Naturwissenschhaften und dies fokussierte sich dann primär auf Physik. Leider kamen vor mir schlaue Laute, wie Galilei und Newton, auf die glorreiche Idee, die Naturphilosophie zu mathematisieren und sie so zu exkakten Naturwissenschaften weiterzuentwickeln, mit dem Ergenis, dass die Physik die vermutlich am stärksten mathematisierte Naturwissenschaft überhaupt ist. Deswegen wollte ich schon öfter das Handtuch werfen, aber dafür ist meine Faszination für die Physik einfach zu groß. Mit bleibt wohl nur übrig, mich diesem sehr anspruchvollem Themenfeld aus "naturphilosophischer" (d.h. qualitativer) Sicht zu nähern.
Aber ein wenig mathematisches Handwerkzeug, wie in obiger Formel, schadet mir sicher nicht und erwies sich bisher auch in Diskussionen als hilfreich. Mir geht es nicht darum, ins Detail einzusteigen oder Tensoren zu begreifen. Ich versuche einfach so viel zu verstehen, soweit es mir möglich ist.

Wenn ich kein Teleskop habe, schaue ich eben so nach oben. Zwar sehe ich weniger als der Astronom, aber immer noch besser als gar nichts.

[Agent Scullie]

Das Ergebnis sieht dann so aus:

wenn du das psi als griechischen Buchstaben sehen willst, musst du einen Backslash davor schreiben: \psi. Das ist der Standard für LaTeX-Kommandos. Soll |zerfallen> und |unzerfallen> nicht kursiv geschrieben werden, musst du das Kommando \textnormal verwenden: |\textnormal{zerfallen}\rangle. Siehe auch

LaTeX: use \textnormal instead of \textrm (or \textsf) in math | Stefaan Lippens in hypertext

[Halman]

Danke für Deine Hilfe, Agent Scullie. Aber irgendwas scheine ich falsch zu machen.

Folgendes habe ich eingeben:
|\psi\rangle=1\sqrt2(|\textnormal{zerfallen}\rangle+|\textnormal{unzerfallen}\rangle)

Dann kommt dies hier raus:


Dies sieht schon besser aus, aber die Wörter bleiben kursiv:
|\psi\rangle=1\sqrt2(|zerfallen\rangle+|unzerfallen\rangle)