Gegeben ist die Funktion f(x) = ln(x²/(x+2))
Definitionsbereich: D(f) = ]-2;+unendlich[ \ {0}
Ableitung: f'(x) = x+4/(x²+2x)
Üblicherweise gilt ja: Wo die erste Ableitung größer Null ist, ist die Funktion streng monoton zunehmend; wo die erste Ableitung kleiner Null ist, ist die Funktion streng monoton fallend.
Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei x = -4. Da dies links vom linken Rand des Definitionsbereiches liegt, müsste sich daraus doch logischerweise ergeben, dass die erste Ableitung im gesamten Definitionsbereich entweder größer oder kleiner Null ist. Daraus wiederum ließe sich schlussfolgern, dass die Funktion in ganz D entweder s.m.s. oder s.m.f. ist.
Denkste.
Die Lösung sagt: Für x € ]-2;0[ ist G(f) streng monoton fallend und für x € ]0;+unendlich[ streng monoton steigend.
Wenn man die entsprechenden Werte einsetzt, stellt man fest, dass es so stimmt. Meine oben getroffenen Schlussfolgerungen über den Definitionsbereich sind also falsch, aber ich verstehe nicht, warum. Wo ist der Haken? Was übersehe ich?
Definitionsbereich: D(f) = ]-2;+unendlich[ \ {0}
Ableitung: f'(x) = x+4/(x²+2x)
Üblicherweise gilt ja: Wo die erste Ableitung größer Null ist, ist die Funktion streng monoton zunehmend; wo die erste Ableitung kleiner Null ist, ist die Funktion streng monoton fallend.
Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei x = -4. Da dies links vom linken Rand des Definitionsbereiches liegt, müsste sich daraus doch logischerweise ergeben, dass die erste Ableitung im gesamten Definitionsbereich entweder größer oder kleiner Null ist. Daraus wiederum ließe sich schlussfolgern, dass die Funktion in ganz D entweder s.m.s. oder s.m.f. ist.
Denkste.
Die Lösung sagt: Für x € ]-2;0[ ist G(f) streng monoton fallend und für x € ]0;+unendlich[ streng monoton steigend.
Wenn man die entsprechenden Werte einsetzt, stellt man fest, dass es so stimmt. Meine oben getroffenen Schlussfolgerungen über den Definitionsbereich sind also falsch, aber ich verstehe nicht, warum. Wo ist der Haken? Was übersehe ich?
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