Integral

[Colonel O'Neill]

Da hast du vollkommen Recht, einige Wikipediaartikel zu mathematischen Problemen kommen nicht ohne von Anfang bis Ende das gesamte griechische Alphabet und sämtlich Quantoren zu nutzen aus, wohingegen die Erläuterungen mit lakonischen Kommentaren vorgenommen werden und somit intensive Vorkenntnisse voraussetzen.
Zusätzliche Beispiele fehlen aber des öfteren gerade bei schwierigeren Themen. So ärgerlich das ist, wer sich jedoch zu den Links am Artikelende durchgekämpft hat, findet oft nützliches Material.

[Cordess]

Da hast du vollkommen Recht, einige Wikipediaartikel zu mathematischen Problemen kommen nicht ohne von Anfang bis Ende das gesamte griechische Alphabet und sämtlich Quantoren zu nutzen aus, wohingegen die Erläuterungen mit lakonischen Kommentaren vorgenommen werden und somit intensive Vorkenntnisse voraussetzen.

Genau deswegen habe ich ja den Papula vorgeschlagen, da wird man nämlich nicht mit Fachchinesisch einfach erschlagen, sondern es wird, sofern erforderlich erstmal erklärt.

Und die Bücher sind gut in Kapitel unterteilt, so daß man sich das passende für sich herauspicken kann.

[irony]

Da hast du vollkommen Recht, einige Wikipediaartikel zu mathematischen Problemen

Ich bezog mich auf Wikipedia als Nachschlagewerk ganz allgemein.
Egal für was, ich ziehe erst mal kein dickes Buch zu Rate, sondern Wikipedia.

Und die Bücher sind gut in Kapitel unterteilt, so daß man sich das passende für sich herauspicken kann.

Wenn ich mir den Wikipedia-Artikel Integralrechnung ? Wikipedia anschaue, dann finde ich dort schon so ziemlich alles, was mich zu dem Thema interessiert. Und wenn man in der Schule aufgepasst hat, kann man das auch verstehen.

[Colonel O'Neill]

Genau deswegen habe ich ja den Papula vorgeschlagen, da wird man nämlich nicht mit Fachchinesisch einfach erschlagen, sondern es wird, sofern erforderlich erstmal erklärt.

Jetzt fällt es mir wieder ein! Das sind die orangen oder gelben Bücher stimmts Cordess?

@Transportermalfunction; Die sind wirklich gut, auch wenn ich nicht mit ihnen gearbeitet habe (hab mit Mathematikern gelernt, andere Literatur benutzt und auf einmal stand da "be" und ne Note ), hab aber viel Gutes von den Büchern gehört.

[Gast]

Also, um das mal klarzustellen: Ich rechne das nicht zum Spaß! So durchgeknallt bin selbst ich nicht. Jedenfalls noch nicht.
Genauer gesagt rechne ich das gar nicht, sondern meine Freundin im BWL-Studium (weiß der Kuckuck, wozu man es eigentlich braucht) und da ich ja doch ein nettes Kerlchen bin und den Kram evtl. in meinem künftigen VWL-Studium brauche und ich sowieso zu viel Zeit habe, habe ich mir gedacht, ich könnte ihr mit dem Zeug ein wenig helfen.

Jetzt folgt aus dem Satz über die Partialbruchzerlegung, dass es in deinem Beispiel komplexe Zahlen A, D und E sowie ein Polynom T(x) (mit kleinerem Grad als Q) gibt

Kannst du knapp erklären, warum das so ist (Wenn das überhaupt wichtig ist)? Ist das einfach eine Rechenregel, die man als Laie als gegeben hinnehmen kann?
Rein zur Sicherheit: Der Grad von Q ist in dem Fall drei.

Hier ist T(x)=0. Da z2 und z3 anscheinend nicht reellwertig sind, hat der Autor der Lösung wohl die beiden hinteren Summanden zusammengefasst.

Warum kann er das?
z2 und z3 dürften ja dann einfach die Nullstellen von (x² + 2x + 5) sein, nicht wahr? *nachrechen* Nein halt, das wäre ja nur x=-1

Soweit klar?

Jaein. Soweit ich in der Materie drin bin, habe ich es glaube ich halbwegs überrissen. Vielleicht schnalle ich es noch.

Ich verstehe nicht, was konkret A, B und C nun eigentlich sind?

[irony]

Ich verstehe nicht, was konkret A, B und C nun eigentlich sind?

Du zerlegst einen komplizierten Bruch in einfachere Teilbrüche.
A, B und C geben die Zähler dieser Teilbrüche an.

[Colonel O'Neill]

Kannst du knapp erklären, warum das so ist (Wenn das überhaupt wichtig ist)? Ist das einfach eine Rechenregel, die man als Laie als gegeben hinnehmen kann?
Rein zur Sicherheit: Der Grad von Q ist in dem Fall drei.

Du zerlegst den Nenner mittels Nullstellen in Linearfaktoren. Doppelte dreifache ... usw. Nullstellen werden so oft sie auftauchen einbezogen und erhalten aufsteigend die Potenz bis maximal zu ihrer Anzahl.

Ist x-1 zum beispiel dreifache Nullstelle steht da nicht nur A/(x-1) sondern A/(x-1) + B/(x-1)² +C/(x-1)³.

Bei der Zerlegung können auch Terme auftreten die komplexe Nullstellen haben, die stellt man dann so auf, das man mit Koeffizienten A,B,C ... ein Polynom bastelt, das einen Grad kleiner ist als der unzerlegbare Term.
Bei Grad 2 des "unzerlegbaren" also Ax+B, entsprechend bei Grad 3 des "unzerlegbaren" Ax²+Bx+C als Koeffizienten.

PS.: Ich bin Anwender ich muss selten das Rad neu erfinden die Theorie dahinter ist mir zu wage im Kopf als das ich sie hier ausführe
PS2.: Ein "Koeffizientenpolynom" mit gleichgroßem oder größerem Grad würde wenig Sinn machen.

[Spooky Mulder]

@SFJ
Ich nehme mal an, du darfst dich mit HöMa-Vorlesungen rumplagen. Mein Beileid. Ich habe allerdings keine Ahnung wie technisch oder theoretisch die für deinen Studiengang angelegt ist.

Kannst du knapp erklären, warum das so ist (Wenn das überhaupt wichtig ist)? Ist das einfach eine Rechenregel, die man als Laie als gegeben hinnehmen kann?
Rein zur Sicherheit: Der Grad von Q ist in dem Fall drei.

Ich könnte dir natürlich jetzt den Beweis meiner Erinnerung nach mit Hilfe des euklidischen Algorithmus hinkloppen. Glaube aber kaum, dass dir das hilft.

Du zerlegst, vereinfacht gesagt, das Polynom im Nenner in kleinere Faktoren, also Polynome kleineren Grades (der Grad richtet sich nach der Vielfachheit der zi als Nullstelle von Q). Die Linearfaktoren von Q eignen sich besonders, weil nachher durch einsetzen unter anderem der Polstellen einige Terme wegfallen.

Wenn du nun Q in Linearfaktoren zerlegt hast, erhälst du einen Bruch der Form:

P(x) / [ (x-z1)*(x-z2)*.... etc ]

Was sind nun meine A, B, C, D und E oben? Gehen wir mal zurück in die sechste Klasse.

Wir haben drei Brüche: a/d , b/e , c/f und wollen alle auf einen Nenner bringen. Multiplizieren wir die drei Nenner miteinander und erhalten einen Hauptnenner. Wir erweitern die einzelnen Brüche und erhalten (aef+bdf+cde)/def.
Bei der Partialbruchzerlegung wird das Verfahren invertiert. Wir haben einen großen Bruch mit Hauptnenner (Q(x)) und zerlegen ihn in Teilbrüche. Die Zähler der Teilbrüche sind unsere Unbekannten (X, Y, Z).

(aef+bdf+cde)/def = X/d + Y/e + Z/f

Warum kann er das?
z2 und z3 dürften ja dann einfach die Nullstellen von (x² + 2x + 5) sein, nicht wahr? *nachrechen* Nein halt, das wäre ja nur x=-1

Ja, z2 und z3 sind die Nullstellen von x² + 2x + 5.
Wenn ich nicht eingerostet bin, müssten z2= -1+2i und z3= -1-2i sein. Sind also bis auf Konjugation identisch. Daher kannst du den Bruch zusammenziehen (wie auch in der oberen Wikipedia-Formel angegeben), um das Rechnen mit nicht-reellen Zahlen zu umgehen, da die imaginären Einheiten wegfallen.

Warum du dann ein Polynom ersten Grades (Bx+C) im Zähler hast, erkennst du aber?

[irony]

Wir haben drei Brüche: a/d , b/e , c/f und wollen alle auf einen Nenner bringen. Multiplizieren wir die drei Nenner miteinander und erhalten einen Hauptnenner. Wir erweitern die einzelnen Brüche und erhalten (adf+cbf+ebd)/abcd.

Müsste der Nenner dann nicht def sein ?
Und nicht abcd ?

Bei der Partialbruchzerlegung wird das Verfahren invertiert. Wir haben einen großen Bruch mit Hauptnenner (Q(x)) und zerlegen ihn in Teilbrüche. Die Zähler der Teilbrüche sind unsere Unbekannten (X, Y, Z).

(aef+bdf+cde)/abc

Und hier auch nicht abc sondern def ?

Die Zähler scheinen mir auch nicht zu stimmen.

[Spooky Mulder]

Müsste der Nenner dann nicht def sein ?
Und nicht abcd ?

Und hier auch nicht abc sondern def ?

Die Zähler scheinen mir auch nicht zu stimmen.

Richtig. Hatte das erst anders stehen und der Übersicht halber die Buchstaben vertauscht. Dass ich wohl den Nenner dabei vergessen habe, war eher kontraproduktiv.

Habs verbessert.

[Cordess]

Jetzt fällt es mir wieder ein! Das sind die orangen oder gelben Bücher stimmts Cordess?

Das Cover wechselt AFAIK ständig.

Die ganz neuen scheinen laut Amazon in Orange gehalten zu sein.
Ältere Ausgben waren Blau und davor Weiß.


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Cordess schrieb nach 1 Minute und 12 Sekunden:

@Transportermalfunction; Die sind wirklich gut, auch wenn ich nicht mit ihnen gearbeitet habe (hab mit Mathematikern gelernt, andere Literatur benutzt und auf einmal stand da "be" und ne Note ), hab aber viel Gutes von den Büchern gehört.

Noch was.

Für ein richtiges Mathematikstudium an einer Uni sollen sie laut diverser Amazon Rezesionen aber nicht alles abdecken bzw. nicht weit genug ins Detail gehen, da braucht man dann noch andere Bücher.

[Gast]

Du zerlegst einen komplizierten Bruch in einfachere Teilbrüche.
A, B und C geben die Zähler dieser Teilbrüche an.

Manchmal ist es wirklich erschreckend, wie einfach Mathe zuweilen sein kann...

@SFJ
Ich nehme mal an, du darfst dich mit HöMa-Vorlesungen rumplagen. Mein Beileid. Ich habe allerdings keine Ahnung wie technisch oder theoretisch die für deinen Studiengang angelegt ist.

Ohje, worauf werde ich mich da nur wieder einlassen? Gut, dass ich es nur als Nebenfach studiere...

Ja, z2 und z3 sind die Nullstellen von x² + 2x + 5.
Wenn ich nicht eingerostet bin, müssten z2= -1+2i und z3= -1-2i sein. Sind also bis auf Konjugation identisch. Daher kannst du den Bruch zusammenziehen (wie auch in der oberen Wikipedia-Formel angegeben), um das Rechnen mit nicht-reellen Zahlen zu umgehen, da die imaginären Einheiten wegfallen.

Warum du dann ein Polynom ersten Grades (Bx+C) im Zähler hast, erkennst du aber?

Ich denke schon, ja. (Mann, die 6. Klasse hatte ja doch Sinn. )

Aber zur Sicherheit: Q(x) hat drei Nullstellen. Das erkenne ich daran, dass der höchste Exponent drei ist, ja? Nach den Rechenregeln, die man in der neunten Klasse lernt, hat (x² + 2x + 5) gar keine Nullstellen (meine Rechnung dahingehend war vorhin deshalb eig. falsch), da die Diskriminante kleiner Null ist. Da sich aber aus dem Grad von Q(x) ergibt, dass es drei Nullstellen sein müssen, muss ich die komplexen Zahlen zuhilfe nehmen, richtig? Daraus ergibt sich dann der Spaß mit den Konjugationen.

[Colonel O'Neill]

Noch was.

Für ein richtiges Mathematikstudium an einer Uni sollen sie laut diverser Amazon Rezensionen aber nicht alles abdecken bzw. nicht weit genug ins Detail gehen, da braucht man dann noch andere Bücher.

Für echte Mathematikstudenten würde ich es auch nicht empfehlen, bzw. besser wäre es für die, all das was im Papula steht bereits -vor- Antritt des Studiums längst in- und auswendig zu können, wenn sie Nachts um 2:00 Uhr geweckt werden.
Außerdem bin ich kein Mathematiker, ich habe lediglich mit Mathematikern zusammen gelernt. Ich möchte das so betonen, da ich großen Respekt vor diesen Leuten habe.

Ohje, worauf werde ich mich da nur wieder einlassen? Gut, dass ich es nur als Nebenfach studiere...

Im Vorhinein genauestens informieren, wie es mit Mathe in deinem anvisierten Studiengang an deiner angepeilten Uni aussieht. Am besten Studis vor Ort befragen. Damit kann man nämlich ganz schön ins Bajonett laufen, wenn man das zu unbedarft angeht. Bei Angebot von bedarfsgerechtem Mathe für deinen Studiengang kann es eher lockerer laufen, bei HöMa würde ich es mir gaaanz gut überlegen.

[Spooky Mulder]

Ohje, worauf werde ich mich da nur wieder einlassen? Gut, dass ich es nur als Nebenfach studiere...

Ich habe zum Beispiel von Chemikern gehört, dass die in ihren HöMa-Vorlesungen mit anspruchsvollen Sätzen und Formeln zugekloppt werden und man relativ wenig Wert auf Herleitung und Beweis dieser setzt, was natürlich nicht gerade zum besseren Verständnis beiträgt.

Was studierst du denn und welche Mathevorlesungen musst du hören?

Aber zur Sicherheit: Q(x) hat drei Nullstellen. Das erkenne ich daran, dass der höchste Exponent drei ist, ja? Nach den Rechenregeln, die man in der neunten Klasse lernt, hat (x² + 2x + 5) gar keine Nullstellen (meine Rechnung dahingehend war vorhin deshalb eig. falsch), da die Diskriminante kleiner Null ist. Da sich aber aus dem Grad von Q(x) ergibt, dass es drei Nullstellen sein müssen, muss ich die komplexen Zahlen zuhilfe nehmen, richtig? Daraus ergibt sich dann der Spaß mit den Konjugationen.

Das hängt ja ganz von deinem Definitionsbereich ab. Ist in dem Beispiel ja nicht angegeben. Von den Nullstellen deines Polynoms Q liegt nur eine in ℝ. Über ℂ entspricht die Anzahl der Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) natürlich immer dem Grad des Polynoms (siehe Fundamentalsatz der Algebra).

pq-Formel zum Auflösen quadratischer Gleichungen hattet ihr aber in der Schule, oder?

[irony]

Das hängt ja ganz von deinem Definitionsbereich ab. Ist in dem Beispiel ja nicht angegeben. Von den Nullstellen deines Polynoms Q liegt nur eine in ℝ. Über ℂ entspricht die Anzahl der Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) natürlich immer dem Grad des Polynoms

Wenn der Definitionsbereich nicht auf der reellen Zahlenachse liegen würde, wozu dann der Teilbruch (Bx + C)/(x² + 2x + 5) ?

Ich dachte, das quadratische Polynom im Nenner bleibt deshalb stehen, weil es keine reellen Nullstellen hat.