Alles ist relativ: ART & SRT

[Thomas W. Riker]

Auch "wahnsinnige Geschwindigkeit" muss ja erst mal erreicht werden. ^^
Die Antriebe dafür hätten wir momentan trotzdem noch nicht ...

Selbst wenn Raumsonden statt 100.000 km/h bald 300.000 km/h schnell wären, wäre das nur innerhalb des Sonnensystem eine wirklich qualitative Verbesserung. Damit könnte man in gut einem Jahr von der Erde zum Saturn und zurück. Und dies wäre schon die 12fache Dauergeschwindigkeit der ISS (ca 7km/sec).

[irony]

Auch "wahnsinnige Geschwindigkeit" muss ja erst mal erreicht werden. ^^
Die Antriebe dafür hätten wir momentan trotzdem noch nicht ...

Ärgerlich wäre halt, wenn eine schnelle Raumfahrt prinzipiell in einem Gegensatz zur Stabilität von Atomen und Molekülen steht.

In einem solchen "schnellen Universum" wäre man schnell, aber man hätte nichts (keine Moleküle = keine Metalle) um ein Raumschiff zu bauen

Und es gäbe auch nichts Sinnvolles, wo man hinfliegen könnte (keine Sterne, keine Planeten).
Überall ist nur "schneller" leerer Raum

[Mondkalb]

Auch "wahnsinnige Geschwindigkeit" muss ja erst mal erreicht werden. ^^
Die Antriebe dafür hätten wir momentan trotzdem noch nicht ...

[irony]

Insgesamt scheint es trotz der extremen Feinabstimmung doch viele Möglichkeiten für lebensfreundliche Universen zu geben. Vielleicht sind auch welche dabei, in denen die Lichtgeschwindigkeit drastisch höher ist.

Interessant wäre ein Universum, in dem man kein FTL braucht, um von einem Sonnensystem ins andere zu kommen. D.h. eine Art Star Trek in diesem Universum braucht dort keinen Warpantrieb, der Impulsantrieb genügt. Scifi wird zur Realität

[Mondkalb]

Es gab letztes Jahr einen Artikel in Spektrum der Wissenschaft zum Thema "Leben im Multiversum", in dem verschiedene Varianten untersucht wurden. So scheint es z. B. so zu sein, dass die schwache Kraft relativ unnötig für die Entstehung von Leben ist und zumindest auch sehr viel schwächer sein könnte, ohne dass Leben unmöglich würde.

Auch Veränderung bei den Quarks werden betrachtet.

Insgesamt scheint es trotz der extremen Feinabstimmung doch viele Möglichkeiten für lebensfreundliche Universen zu geben. Vielleicht sind auch welche dabei, in denen die Lichtgeschwindigkeit drastisch höher ist.

Den Artikel fand ich jedenfalls ganz interessant:
Kosmologie: Leben im Multiversum - Spektrum der Wissenschaft

[McWire]

Was würde sich ändern? Wäre die Materie (Atome, Moleküle) noch stabil?

Sie wäre wohl stabil, aber auf eine andere Art und Weise.

Die Lichtgeschwindigkeit hat ja unmittelbaren Einfluss auf die Feinstrukturkonstante, welche die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung angibt.

Wird die Lichtgeschwindigkeit größer, wird die elektromagnetische Feinstrukturkonstante kleiner und damit auch die relative Stärke des Elektromagnetismus.

Es kommt irgendwann mal ein Punkt, wo chemische Verbindungen ihre Stabilität verlieren. Die Atome würde wohl weiter existieren, aber sie wären ab einem bestimmten Punkt nicht mehr in der Lage sich aneinander zu reihen und sich miteinander zu verbinden.

[Mondkalb]

Ich könnte mir vorstellen, das eine gewisse Bandbreite möglich ist, aber wegen des Zusammenhangs der Lichtgeschwindigkeit mit der elektrischen und magnetischen Feldkonstanten würde es sicher irgendwann Auswirkungen auf die Stabilität von Molekülen und Atomen und auch auf Sterne haben. Dazu müssten mal die Fachleute aus entsprechenden Gebieten was sagen.

[irony]

Angenommen, die Lichtgeschwindigkeit wäre (in einem anderen Universum) deutlich höher. Als wesentlich mehr als 300.000 km/sec, aber alle anderen (von der Lichtgeschwindigkeit unabhängigen) Naturkonstanten (z.B. Planckquantum h) blieben gleich.

Was würde sich ändern? Wäre die Materie (Atome, Moleküle) noch stabil?

[McWire]

vielleicht hilft es dir, wenn wir uns mal ansehen, wie man bei Newton auf Ekin=1/2 mv^2 kommt:

Es gilt, dass die kinetische Energie eines Körpers gleich der Arbeit W ist, die zum Beschleunigen auf die aktuelle Geschwindigkeit erforderlich war. Diese Arbeit berechnet sich daraus, dass auf einem infinitesimalen Wegabschnitt ds die Arbeit

dW = F ds = m a ds

verrichtet werden muss, um die Kraft F wirken zu lassen und dem Körper somit die Beschleunigung a zu verleihen. Nun gibt es zwei Möglichkeiten, davon ausgehend zur Formel für Ekin zu gelangen:

1) man nimmt eine über die gesamte Beschleunigungsphase konstante Beschleunigung a = const an. Dann kann man die Differentiale direkt durch die endlichen Größen ersetzen:

W = F s = m a s

wobei W die insgesamt verrichtete Arbeit ist und s die während der Beschleunigungsphase insgesamt zurückgelegte Strecke. Es gilt dann, wenn t die Dauer der Beschleunigungsphase ist, s = 1/2 a t^2, so dass

W = m a (1/2 a t^2) = 1/2 m a^2 t^2

Da die am Ende der Beschleunigungsphase erreichte Geschwindigkeit v = a t ist, erhält man folglich

W = 1/2 m (a t)^2 = 1/2 m v^2

2) man ersetzt ds durch v dt:

dW = F v dt = m a v dt = m (dv/dt) v dt

wobei man benutzt, dass die Beschleunigung a die Änderung der Geschwindigkeit v pro Zeiteinheit ist, a = dv/dt. Dann eliminiert man dt:

(dv/dt) dt = dv => dW = m v dv

Und das integriert man dann einfach:

W = 1/2 mv^2

In der relativistischen Mechanik funktioniert diese Vorgehensweise jedoch nicht mehr, weil nicht mehr F = m a gilt. Bei Newton gilt für den Impuls p = m v, und für die Kraft F = dp/dt, so dass F = d(mv)/dt = m dv/dt = m a. In der SRT aber gilt p = m v / sqrt(1 - v^2/c^2), und somit erhalten wir für die Kraft

F = m a [ (v/c)^2 / (1-v^2/c^2)^(3/2) + 1/sqrt(1-v^2/c^2) ]

Wir könnten nun auf McWire's Formel kommen, wenn wir zwei Fehler machen würden: zum einen den ersten Term weglassen, so dass da

m a / sqrt(1 - v^2/c^2)

stünde, und zum zweiten

m a ds / sqrt(1 - v^2/c^2) = m v dv / sqrt(1 - v^2/c^2)

zu

1/2 mv^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

aufintegrieren, was deswegen ein Fehler wäre, weil wir ignorieren würden, dass der Ausdruck in der Wurzel ja auch noch von v abhängt und daher bei der Integration berücksichtigt werden muss.

In der relativistischen Mechanik sind aufgrund des komplizierteren Ausdrucks für die Kraft F die obigen Rechenschritte aus der Newtonschen Mechanik nicht durchführbar, entsprechend kann da kein Ergebnis mit 1/2 mv^2 herauskommen.

Danke, das war sehr anschaulich. Soweit meine Abi-Kenntnisse in Differential- und Integralrechnung ausreichen, komm ich recht gut mit.

Das eigentliche Problem lag ja im 1/2. Wenn man E=mv²*Gamma-mc² hätte, wäre die Abweichung zu mc²*Gamma-mc² minimal und bei genau c exakt 0.

[Agent Scullie]

Genau dies ist aber der eigentlich interessante Punkt an der ganzen Diskussion. Warum kann man das nicht einfach so machen? Wie erklärt sich physikalisch die Abweichung? Welche Energie wird hier vernachlässigt, usw. Das ist interessanter als einfach nur die richtige Formel herzuleiten.

vielleicht hilft es dir, wenn wir uns mal ansehen, wie man bei Newton auf Ekin=1/2 mv^2 kommt:

Es gilt, dass die kinetische Energie eines Körpers gleich der Arbeit W ist, die zum Beschleunigen auf die aktuelle Geschwindigkeit erforderlich war. Diese Arbeit berechnet sich daraus, dass auf einem infinitesimalen Wegabschnitt ds die Arbeit

dW = F ds = m a ds

verrichtet werden muss, um die Kraft F wirken zu lassen und dem Körper somit die Beschleunigung a zu verleihen. Nun gibt es zwei Möglichkeiten, davon ausgehend zur Formel für Ekin zu gelangen:

1) man nimmt eine über die gesamte Beschleunigungsphase konstante Beschleunigung a = const an. Dann kann man die Differentiale direkt durch die endlichen Größen ersetzen:

W = F s = m a s

wobei W die insgesamt verrichtete Arbeit ist und s die während der Beschleunigungsphase insgesamt zurückgelegte Strecke. Es gilt dann, wenn t die Dauer der Beschleunigungsphase ist, s = 1/2 a t^2, so dass

W = m a (1/2 a t^2) = 1/2 m a^2 t^2

Da die am Ende der Beschleunigungsphase erreichte Geschwindigkeit v = a t ist, erhält man folglich

W = 1/2 m (a t)^2 = 1/2 m v^2

2) man ersetzt ds durch v dt:

dW = F v dt = m a v dt = m (dv/dt) v dt

wobei man benutzt, dass die Beschleunigung a die Änderung der Geschwindigkeit v pro Zeiteinheit ist, a = dv/dt. Dann eliminiert man dt:

(dv/dt) dt = dv => dW = m v dv

Und das integriert man dann einfach:

W = 1/2 mv^2

In der relativistischen Mechanik funktioniert diese Vorgehensweise jedoch nicht mehr, weil nicht mehr F = m a gilt. Bei Newton gilt für den Impuls p = m v, und für die Kraft F = dp/dt, so dass F = d(mv)/dt = m dv/dt = m a. In der SRT aber gilt p = m v / sqrt(1 - v^2/c^2), und somit erhalten wir für die Kraft

F = m a [ (v/c)^2 / (1-v^2/c^2)^(3/2) + 1/sqrt(1-v^2/c^2) ]

Wir könnten nun auf McWire's Formel kommen, wenn wir zwei Fehler machen würden: zum einen den ersten Term weglassen, so dass da

m a / sqrt(1 - v^2/c^2)

stünde, und zum zweiten

m a ds / sqrt(1 - v^2/c^2) = m v dv / sqrt(1 - v^2/c^2)

zu

1/2 mv^2 / sqrt(1 - v^2/c^2)

aufintegrieren, was deswegen ein Fehler wäre, weil wir ignorieren würden, dass der Ausdruck in der Wurzel ja auch noch von v abhängt und daher bei der Integration berücksichtigt werden muss.

In der relativistischen Mechanik sind aufgrund des komplizierteren Ausdrucks für die Kraft F die obigen Rechenschritte aus der Newtonschen Mechanik nicht durchführbar, entsprechend kann da kein Ergebnis mit 1/2 mv^2 herauskommen.

[irony]

Aber ich werde in Zukunft nur noch die von dir vorgestellte Formel nehmen

Im Grunde stand die Formel ja schon hier

Das lorentzinvariante Quadrat des Viererimpulses ist E2/c2 - p2 = m2c2

wobei p der relativistische Impuls und m die invariante Ruhemasse und mc2 die Ruheenergie des Teilchens ist.

Damit ist dann E2 = p2c2 + m2c4 und die Gesamtenergie E eben die Wurzel daraus, also E = Wurzel(p2c2 + m2c4)

Die kinetische Energie ist dann

Ekin = E - mc2 = Wurzel(p2c2 + m2c4) - mc2

p ist wie gesagt, der relativistische Impuls, E die Gesamtenergie, m die Ruhemasse.

Quadrate schreibe ich ohne das hier unnötige ^. Also einfach c2 statt c^2.
Als Malpunkt für die gewöhnliche Multiplikation verwende ich *, so wie in 2 * 2 = 4
Divisionen schreibe ich mit schrägem Bruchstrich, sowie in 1/2 = 0,5

Wenn M die relativistische Masse ist, gilt nach Einstein E = Mc2 bzw. M = E/c2 und für den Impuls p = Mv = E * v/c2.

Setzt man p = E * v/c2 in

E2 = p2c2 + m2c4 ein, erhält man

E2 = E2v2/c2 + m2c4 und daraus

E2 * (1-v2/c2) = m2c4 und daraus durch Wurzelziehen

E = mc2 / Wurzel(1-v2/c2)

Subtrahiert man davon die Ruheenergie mc2 erhält man

Ekin = mc2 / Wurzel(1-v2/c2) - mc2 = mc2 * (1/Wurzel(1-v2/c2) - 1)

Mit dem Lorentzfaktor gamma = 1/Wurzel(1-v2/c2) kann man dann kurz und einprägsam schreiben:

Ekin = mc2 * (gamma - 1)

Für v = 0 ist gamma = 1 und Ekin = 0
Für v > 0 ist gamma > 1 und Ekin > 0

da mir nun durchaus klar ist, dass die newtonsche Formel fehlerhafte Werte liefert, auch wenn es vom Baugefühl eigentlich funktionieren sollte die dynamische Masse in klassischer Mechanik bei Annäherungen an die Lichtgeschwindigkeit zu verwenden. Manchmal täuscht der instinktive Umgang mit Physik und Mathematik.

Genau dies ist aber der eigentlich interessante Punkt an der ganzen Diskussion. Warum kann man das nicht einfach so machen? Wie erklärt sich physikalisch die Abweichung? Welche Energie wird hier vernachlässigt, usw. Das ist interessanter als einfach nur die richtige Formel herzuleiten.

[McWire]

doch, relativ gesehen ist beides ein Sprung von 100%.

Gut damit hast du, jetzt für mich im Nachhinen sichtbar, recht.

der Aufwand von 10^30 zu 2*10^30 ist genauso groß wie von 10^3 auf 10^30, nämlich 1*10^30. Gesetzt, dein unentzifferbares Schriftzeichen hinter der hochgestellten 3 sollte eine 0 darstellen.

Lustigerweise macht das neue Opera im Linux aus ^3 automatisch ³ bzw. aus ^0 automatisch ⁰ . Mal eine sinnvolle Funktion

wenn du darauf hinauswillst, dass Energien von 10^30 Joule jenseits des heute von uns technischen handhabbaren liegen, könnte man mit der Logik auch behaupten, dass der Schritt von 10^30 Joule zu 10^300 Joule vernachlässigbar sei, der gleichermaßen für uns heute nicht machbar.

Naja der Anwendungsbereich meiner Formel liegt darin, Energiemengen für Raumschiffantriebe und Projektilwaffen bei Beschleunigungen an die Lichtgeschwindigkeit zu berechnen.

Dort geht es zumeist ja wirklich nur um Größenordnungen und nicht um exakte Zahlenwerte. Meistens dient die Berechnung nur als Argumentationsgrundlage etwas zu widerlegen, weil es technische nicht machbar ist oder Mindestanforderungen an fiktive Antriebskonzepte zu bestimmen.

Daher kann man durchaus sagen, dass ein Sprung von 10³⁰ auf 10³⁰⁰ vernachlässigbar ist, wenn schon 10³⁰ kein erreichbares Ziel ist.

Aber ich werde in Zukunft nur noch die von dir vorgestellte Formel nehmen, da mir nun durchaus klar ist, dass die newtonsche Formel fehlerhafte Werte liefert, auch wenn es vom Baugefühl eigentlich funktionieren sollte die dynamische Masse in klassischer Mechanik bei Annäherungen an die Lichtgeschwindigkeit zu verwenden. Manchmal täuscht der instinktive Umgang mit Physik und Mathematik.

[Agent Scullie]

Ich meine damit einfach nur, dass im unteren Bereich ein solcher Faktor stärker ins Gewicht fällt als im oberen Bereich.

von 1000 auf 2000 ist durchaus ein beachtlicher Sprung.

Von 1*10³⁰ auf 2*10³⁰ ist zwar absolut auch ein Großer Sprung, relativ gesehen aber nicht.

doch, relativ gesehen ist beides ein Sprung von 100%.

Bei dieser Größenordnung spielt der Faktor 2 in der Praxis kaum noch eine Rolle, weil der Aufwand von 10³ auf 10³⁰ einfach exorbitant größer ist als der Aufwand von 10³⁰ auf 2*10³⁰.

der Aufwand von 10^30 zu 2*10^30 ist genauso groß wie von 10^3 auf 10^30, nämlich 1*10^30. Gesetzt, dein unentzifferbares Schriftzeichen hinter der hochgestellten 3 sollte eine 0 darstellen.

Relativ zu den für uns handhabbaren Energiewerten ist es nun egal, ob dann noch ein Faktor 2 dazu kommt oder nicht.

wenn du darauf hinauswillst, dass Energien von 10^30 Joule jenseits des heute von uns technischen handhabbaren liegen, könnte man mit der Logik auch behaupten, dass der Schritt von 10^30 Joule zu 10^300 Joule vernachlässigbar sei, der gleichermaßen für uns heute nicht machbar.

[McWire]

der Satz ist sinnlos: absolute Messfehler können nicht größer oder kleiner als Faktor 2 sein, da Faktor 2 per definitionem ein relativer Messfehler ist. Faktor 2 gibt den einen der beiden fraglichen Werte in Relation zum anderen an, und ist daher zwangsläufig relativ.

Wenn der eine Wert 1*10^20 ist und der andere 2*10^20, dann ist der relative Messfehler Faktor zwei, der absolute Messfehler 1*10^20.

Ich meine damit einfach nur, dass im unteren Bereich ein solcher Faktor stärker ins Gewicht fällt als im oberen Bereich.

von 1000 auf 2000 ist durchaus ein beachtlicher Sprung.

Von 1*10³⁰ auf 2*10³⁰ ist zwar absolut auch ein Großer Sprung, relativ gesehen aber nicht. Bei dieser Größenordnung spielt der Faktor 2 in der Praxis kaum noch eine Rolle, weil der Aufwand von 10³ auf 10³⁰ einfach exorbitant größer ist als der Aufwand von 10³⁰ auf 2*10³⁰.

Relativ zu den für uns handhabbaren Energiewerten ist es nun egal, ob dann noch ein Faktor 2 dazu kommt oder nicht.

[Agent Scullie]

Für große Potenzen ist der absolute Meßfehler eh viel größer als Faktor 2, wenn der relative Meßfehler konstant bleibt.

der Satz ist sinnlos: absolute Messfehler können nicht größer oder kleiner als Faktor 2 sein, da Faktor 2 per definitionem ein relativer Messfehler ist. Faktor 2 gibt den einen der beiden fraglichen Werte in Relation zum anderen an, und ist daher zwangsläufig relativ.

Wenn der eine Wert 1*10^20 ist und der andere 2*10^20, dann ist der relative Messfehler Faktor zwei, der absolute Messfehler 1*10^20.