Quantenobjekte und Feld - Fragen und Diskussion

[irony]

würde der Grundzustand unter einer Anwendung des Vernichtungsoperators so bleiben wie er ist, so würde er ja ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das ist er aber eben nicht. Das ist auch leicht einzusehen: der Vernichtungsoperator vernichtet Teilchen, d.h. seine Anwendung auf einen Zustand mit der Teilchenzahl N ergibt einen Zustand mit der Teilchenzahl N-1 (ein Teilchen weniger). Ein N-Teilchenzustand kann daher kein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das gilt natürlich auch für den Fall N=0, wenn also 0 Teilchen vorhanden sind, was gerade den Vakuumzustand auszeichnet.

Da es aber nicht weniger als 0 Teilchen geben kann, kann die Anwendung des Vernichtungsoperators auf den Vakuumzustand keinen Zustand mit einer um 1 kleineren Teilchenzahl ergeben, deswegen gilt

a(k) |0> = 0

Das bedeutet einfach: es gibt keinen gültigen Zustand, der bei der Anwendung von a(k) auf |0> herauskommt. Etwas ganz ähnliches gilt übrigens bei fermionischen Zuständen beim Erzeugeoperator a^+(k). Sei |k> ein Einteilchenzustand, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators auf den Vakuumzustand hervorgeht:

|k> = a^+(k) |0>

Dann gilt für die Anwendung des Erzeugeoperators auf |k>:

a^+(k) |k> = a^+(k) a^+(k) |0> = 0

Da das Pauli-Prinzip ausschließt, dass zwei Fermionen den gleichen Einteilchenzustand einnehmen, kann es keinen Zustand geben, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators a^+(k) auf einen Zustand, in dem schon ein Fermion im Einteilchenzustand k vorhanden ist, hervorgeht. Deswegen muss die Anwendung 0 ergeben.

Es kommt auch darauf an, dass die Anwendung des Teilchenzahloperators, der sich aus dem Erzeuge- und Vernichteoperator zusammensetzt:

n(k) = a^+(k) a(k)

auf den Vakuumzustand des korrekten Wert 0 liefert. Denn von diesem Teilchenzahloperator ist der Vakuumzustand ein Eigenzustand, und zwar zum Eigenwert 0. Es muss also

n(k) |0> = 0 |0> = 0

gelten. Mit a(k) |0> = 0 ist das erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) 0 = 0

Mit a(k) |0> = X |0>, wobei X irgendein Wert wäre, wäre das nicht erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) X |0> = X |k>


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 2 Minuten und 8 Sekunden:

das ist auch ganz richtig so, denn dem Nullvektor entspricht nichts Physikalisches. Eine Beziehung der Art

Operator |Zustand> = 0

bedeutet immer: es gibt keinen Zustand, der aus der Anwendung des Operators auf |Zustand> hervorgeht.

n(k) |0> = 0 |0> = 0 heißt, das System ist nach der Messung der Teilchenzahl mit Ergebnis 0 immer noch im Grundzustand |0>, aber die schrittweise Hintereinanderausführung a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) 0 = 0 entspricht keinem physikalischen Messvorgang, der aus zwei Teilen

a(k) |0> = 0
a^+(k) 0 = 0

besteht, da man zwischen den beiden Teilen keinen physikalischen Zustand hätte.

D.h. der Vakuumzustand wird auch nicht zerstört, da der Vernichtungsoperator keine Messung realisiert und den Zustand |0> im Grunde auch nicht ändern kann.

[Agent Scullie]

Was bedeutet es in der Quantenfeldtheorie, dass das Vakuum, repräsentiert durch den Grundzustand |0> durch den Annihilations-Operator a(k) zerstört wird, also a(k) |0> = 0 ist? Warum bleibt der Grundzustand nicht wie er ist?

würde der Grundzustand unter einer Anwendung des Vernichtungsoperators so bleiben wie er ist, so würde er ja ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das ist er aber eben nicht. Das ist auch leicht einzusehen: der Vernichtungsoperator vernichtet Teilchen, d.h. seine Anwendung auf einen Zustand mit der Teilchenzahl N ergibt einen Zustand mit der Teilchenzahl N-1 (ein Teilchen weniger). Ein N-Teilchenzustand kann daher kein Eigenzustand des Vernichtungsoperators sein. Das gilt natürlich auch für den Fall N=0, wenn also 0 Teilchen vorhanden sind, was gerade den Vakuumzustand auszeichnet.

Da es aber nicht weniger als 0 Teilchen geben kann, kann die Anwendung des Vernichtungsoperators auf den Vakuumzustand keinen Zustand mit einer um 1 kleineren Teilchenzahl ergeben, deswegen gilt

a(k) |0> = 0

Das bedeutet einfach: es gibt keinen gültigen Zustand, der bei der Anwendung von a(k) auf |0> herauskommt. Etwas ganz ähnliches gilt übrigens bei fermionischen Zuständen beim Erzeugeoperator a^+(k). Sei |k> ein Einteilchenzustand, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators auf den Vakuumzustand hervorgeht:

|k> = a^+(k) |0>

Dann gilt für die Anwendung des Erzeugeoperators auf |k>:

a^+(k) |k> = a^+(k) a^+(k) |0> = 0

Da das Pauli-Prinzip ausschließt, dass zwei Fermionen den gleichen Einteilchenzustand einnehmen, kann es keinen Zustand geben, der aus der Anwendung des Erzeugeoperators a^+(k) auf einen Zustand, in dem schon ein Fermion im Einteilchenzustand k vorhanden ist, hervorgeht. Deswegen muss die Anwendung 0 ergeben.

Es kommt auch darauf an, dass die Anwendung des Teilchenzahloperators, der sich aus dem Erzeuge- und Vernichteoperator zusammensetzt:

n(k) = a^+(k) a(k)

auf den Vakuumzustand des korrekten Wert 0 liefert. Denn von diesem Teilchenzahloperator ist der Vakuumzustand ein Eigenzustand, und zwar zum Eigenwert 0. Es muss also

n(k) |0> = 0 |0> = 0

gelten. Mit a(k) |0> = 0 ist das erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) 0 = 0

Mit a(k) |0> = X |0>, wobei X irgendein Wert wäre, wäre das nicht erfüllt:

a^+(k) a(k) |0> = a^+(k) X |0> = X |k>


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Agent Scullie schrieb nach 2 Minuten und 8 Sekunden:

In der Quantenfeldtheorie ist der niedrigste Zustand das Vakuum, geschrieben |0>. Das ist aber nicht dasselbe wie der Nullvektor 0, und ich kann mir deshalb unter dem Nullvektor nichts Physikalisches vorstellen.

das ist auch ganz richtig so, denn dem Nullvektor entspricht nichts Physikalisches. Eine Beziehung der Art

Operator |Zustand> = 0

bedeutet immer: es gibt keinen Zustand, der aus der Anwendung des Operators auf |Zustand> hervorgeht.

[irony]

Physikalisch stellt es sich imho so dar, dass die Felder Φ aufgrund ihrer Wellenfunktion ψ immer einen unscharfen Wert über 0 aufweisen (womit negative Energiedichten vermieden werden, was ja bei einem Schwanken um Null sonst gegeben wäre).

Das Problem ist, dass die Wellenfunktion, die zum Nullvektor gehört, irgendwie auch null wäre, aber das lässt sich nicht normieren, d.h. es gilt nicht <ψ | ψ > = 1.

Der Nullvektor ist, so weit ich es sehen kann, kein quantenmechanischer Zustand

[Halman]

Danke für den Wiki-Link.

Soweit ich weiß, hängt dies mit der Unschärfe zusammen. Der Wert 0 für ein absolutes Vakuum steht mit dieser im Widerspruch, da die 0 ja ein sehr scharfer Wert wäre.

Man kann den Raum so ansehen, dass dieser Quantenfelder beinhaltet. Diese Felder unterliegen der Unschärferelation, woraus folgt, dass ihre Werte niemals vollkommen scharf sind. Somit können sie auch nicht den scharfen Wert 0 einnehmen, sondern sich diesem nur annähern.

Im Nachbar-Thread erläutert Agent Scullie, wie die Raumzeit gem. der kanonischen Quantengravitation (KQG) quantenmechanisch behandelt wird, wie aus der Wellenfunktion ψ(h,Φ) hervorgeht.
Okay, diese Wellenfunktion bezieht die Raumgeometrie h ein und dieser Thread behandelt ja keine Quantengravitation. Aber die Quantenfeldtheorie gehört hier schon hin und sofern ich nicht völlig daneben liege, sollte es eine Wellenfunktion für die skalaren Felder Φ geben, weshalb es zu Vakuumfluktuationen dieser Felder kommt. Ein absolutes Vakuum würde diese ja auschließen.

Physikalisch stellt es sich imho so dar, dass die Felder Φ aufgrund ihrer Wellenfunktion ψ immer einen unscharfen Wert über 0 aufweisen (womit negative Energiedichten vermieden werden, was ja bei einem Schwanken um Null sonst gegeben wäre).

[irony]

Allerdings habe ich Folgendes dazu gefunden

Ganz hilfreich ist auch Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Der Annihilationsoperator heißt auch Vernichtungsoperator oder Absteigeoperator, und das ist auch leicht zu verstehen, was da passiert, bis auf:

Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an, so erhält man den Nullvektor

In der Quantenfeldtheorie ist der niedrigste Zustand das Vakuum, geschrieben |0>. Das ist aber nicht dasselbe wie der Nullvektor 0, und ich kann mir deshalb unter dem Nullvektor nichts Physikalisches vorstellen.

[Halman]

Was bedeutet es in der Quantenfeldtheorie, dass das Vakuum, repräsentiert durch den Grundzustand |0> durch den Annihilations-Operator a(k) zerstört wird, also a(k) |0> = 0 ist? Warum bleibt der Grundzustand nicht wie er ist?

Nun, ich hoffe sehr, dass Agent Scullie diese Frage beantwortet, da ich dazu leider außerstande bin. Allerdings habe ich Folgendes dazu gefunden:
Quantentheorie 2: Quantisierung Und Symmetrien Physikalischer Systeme ... - Horst Rollnik - Google Books
Ein m. E. entscheider Satz auf Seite 69 lautet:

Hinter diesen Resultaten steht eine Unschärferelation zwischen Feldern und Photonenzahl: Ist die Zahl der Photonen bestimmt, so sind es die Feldstärken nicht und umgekehrt.

[irony]

Was bedeutet es in der Quantenfeldtheorie, dass das Vakuum, repräsentiert durch den Grundzustand |0> durch den Annihilations-Operator a(k) zerstört wird, also a(k) |0> = 0 ist? Warum bleibt der Grundzustand nicht wie er ist?

[Halman]

Higgs-Boson und die Ursache von Masse

Aufgrund populärwissenschaftler Darstellung dachte ich wirklich mal, dass das Higgs-Boson der Materie die Masse verleihen würde. Aber dies ist, wie ich in Wikipedia gelesen habe, wohl eine völlig falsche Vorstellung:

Higgs-Boson und die Ursache von Masse

In vereinfachten Darstellungen wird das Higgs-Boson häufig pauschal als Ursache von Masse dargestellt. Dies ist aus zwei Gründen falsch bzw. unpräzise: Zum einen ist es das gesamte Higgs-Feld (Grundzustand und Anregungen), das im Zuge des Higgs-Mechanismus durch virtuelle Anregung die Massen für die Elementarteilchen des Standardmodells erzeugt. Das Higgs-Boson entspricht jedoch einer reellen Anregung. Seine eigene Masse kann so nicht erklärt werden, sondern muss erst einmal vorgegeben werden. Zum anderen ist nicht ausgeschlossen, dass es sich um ein zusammengesetztes Teilchen handelt. Aber die Masse zusammengesetzter Teilchen beruht aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie immer auch auf Wechselwirkungen der Einzelbausteine untereinander. Das ist besonders deutlich bei der Masse der gewohnten Materie, also der Atome. Diese steckt zu über 99 % in den Atomkernen, deren Masse wiederum zu etwa 99 % allein aus der starken Bindung zwischen den Quarks in den Nukleonen resultiert, die den Atomkern bilden. Die Masse der Quarks selbst trägt nur mit ca. 1 Prozent dazu bei.

QUELLE

So wie ich das verstehe, sind nicht die reelen Higgs-Bosonen die Ursache der Masse, sondern das Higgs-Feld. Neu ist mir, dass damit die Masse der Higgs-Bosonen nicht erklärt werden kann. Dies scheint mir eine Schwäche der Theorie zu sein (aber ich mag mich irren).
Besonders bemerkenswert finde ich aber, dass offenbar rund 99 % unserer Masse gar nicht auf dem Higgs-Mechanis beruht, sondern auf die starke WW. Dies wird in den mir bekannten populärwissenschaftlichen Darstellungen unterschlagen und so ein falsches Bild vermittelt.

Hier räume ich allerdings ein, dass ich weder mit der Quantenfeldtheorie, noch im speziellen mit Higgs-Mechanismus vertraut bin. Da tappe ich weitesgehend im Dunkeln.

[Dannyboy]

Ja, Bohr wendete die Formel an. Die von Bohr abgeleiteten Formeln sind aber etwas zu kompliziert für eine Googlegrafik.

[Halman]

Google verwechselt Max Planck mit Niels Bohr.

Wieso? Laut Wikipedia wurde Niels Bohr doch am 7. Oktober 1885 geboren, also vor genau 127 Jahren. Oder beziehst Du dich auf die Formel? - Ja, stimmt, die Energieformel E=hν stammt von Planck. Aber auch die Formel mit dem Delta?

[Dannyboy]

Google verwechselt Max Planck mit Niels Bohr.

[Halman]

127. Geburtstag von Niels Bohr

"feiert" heute den 127. Geburtstag von Niels Bohr.

In der Google-Grafik (die mir übrigens recht gut gefällt ) steht auch die Formel:
ΔE=hν mit Verweis auf die Elektronenbahnen eines Atoms. Dies deutet imho darauf hin, dass ein Elektron von einem Energiepotenzial zum nächsten "springt".
Offenbar wird der Unterschied des Energiepotentials ebenso berechnet, wie die Energie eines Photons und dies ist ja auch logisch, da der Unterschied im Energiepotential von Elektronen der Energie von absorbierten - oder emittierten Photonen entspricht.

EDIT:
Die Grafik zeigt die Emission eines Photons (rote Wellenlinie). Das Elektron verliert diesen Energiebetrag.

[Halman]

Da ich hier ja sehr häufig auf das Buch Skurrile Quantenwelt von Silvia Arroyo Camejo bezug nahm, denke ich, dass es passend ist, hier mal ihre Webside für alle interessierten User zu verlinken.
A.C. Quantum - Home

[Thomas W. Riker]

Vielen Dank für die Korrektur. (Da kann man mal sehen, was ein Buchstabe ausmachen kann.)

Dies ist wirklich wahr!
In einem anderen Forum schrieb heute ein User:

Erare humanum est

Ich war dann so frei, darauf hinzuweisen, dass das Verb von
Error und nicht von Eros kommt
Aber vllt besteht ja doch ein Zusammenhang

[Halman]

nicht Photonen, sondern Phononen, von griechisch phon = "Klang" bzw. phone = "Stimme", im Unterschied zu photos = "Licht". Darum bezeichnet man die Fernübertragung von Sprache auch als Telephonie. Würde man die gleiche Konvention auf das Fernsehen anwenden, hieße dieses wohl Telephotie

Vielen Dank für die Korrektur. (Da kann man mal sehen, was ein Buchstabe ausmachen kann.)

das tat sie deswegen, weil nicht erst durch die Entdeckung der Kernspaltung klar wurde, dass Atome aus kleineren Teilchen aufgebaut sind, sondern bereits infolge der Entdeckung des Elektrons 1897. Um die Erkenntnis, dass sich Atomkerne spalten lassen, überhaupt erst machen zu können, war es ja sogar notwendig zu wissen, dass Atome einen Kern haben (und somit nicht fundamental sein können).

Das ist in der Tat logisch uns sehr einleuchtend.

Entsinne ich mich richtig, dass Ernest Rutherford durch sein Streu-Experiment erkannte, dass das Rosinenkuchenmodell von Thomson falsch war und es im Kern einen sehr kleinen, kompakten, positiv geladenen Kern (10^-15 m) in einem nahezu lehren Atom (10^-10 m) geben musste?