Die Bedeutung von Unendlich & der "Null"

[ChrisArcher]

eine These damit begründen zu wollen, dass sie natürlich gelten würde, ist kein zulässiger Beweis. Die Behauptung "Natürlich ist der Mond viereckig!" ist kein Beweis, dass der Mond viereckig sei.

Der Beweis jener Aussage steckt in meinen Ausführungen, die unter dem von Dir zitierten folgen.

nein, das gilt eben nicht. Es gilt a = 1. Etwas formaler gilt für die Glieder der Folge a_n:

a_n = \sum_{i=1}^n 9 * 10^-(i)

Der Grenzwert der Folge ist also die Reihe

\sum_{i=1}^\infty 9 * 10^-(i)

und die ist 1.

Es gilt \sum_{i=1}^\infty 9 * 10^(-i) = 0,999999999... per Definition. Dies ist gleich 1, wie ich bewiesen habe. Du bist mir aber noch die Antwort auf die Frage schuldig, wer Dir erzählt hat, dass 0,999999... ungleich 3 * 0,333333... gilt. Darauf hätte ich schon sehr gerne eine Antwort.

[Agent Scullie]

Was die Bedeutung von "Länge" angeht folgendes: wenn du irgendjemandem 2 m zeigst, wirst du von 99 % der Leute hören, es handelt sich um eine Länge mit 2 Metern. Das entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch der Länge. Eine Länge setzt sich im allgemeinen Sprachgebrauch aus der Einheit und dem Wert dazu zusammen und wenn du -2 m schreibst werden dir von den 99 % wiederum 99 % sagen, es handelt sich um eine negative Länge.

auf diese "Länge" wird aber kaum deine Aussage zutreffen, wir würden praktisch keine negativen Längen kennen, könnten aber theoretisch / rechnerisch / in der Vorstellung damit arbeiten.

Natürlich erwarte ich jetzt von dir, dass wieder sowas kommt wie "das entspricht aber keiner echten Länge",

na dann mal viel Spaß beim erwarten.

Weiterhin kann nichts greifbares so groß sein, dass es keine Möglichkeit gibt, festzustellen, ob es unendlich groß ist. Alles was man dazu benötigt, um es festzustellen ist schlicht und einfach unendlich viel Zeit - um zum Beispiel vom einen Ende, das es ja geben muss, zum anderen zu gelangen...

wenn du unendlich viel Zeit zulässt, haust du dir aber die Grundlage für deine These, das unendlich große sei praktisch nicht erreichbar, unter den Füßen weg.

- - - Aktualisiert - - -

@Agent Scullie
Unter der Gefahr, mich zu wiederholen oder die bisherigen Aussagen anderer:

Ich kann die Zahl 1 durch 3 teilen.
Das Ergebnis kann ich als 1/3 (Bruch) oder als Kommazahl 0,333... im 10er-System oder als 0,4 im 12er-System angeben.
Multipliziere ich die Zahl 1/3 mit 3, dann erhalte ich 1. Da sind uns noch einig denke ich.
Multipliziere ich die Zahl 0,33... mit 3, dann erhalte ich 0,99...

dass dem so wäre, habe ich bestritten. Du begründest also eine von mir angegriffene These mit der These selbst. Das ist Tautologie.

was ja nichts anderes als 1 ist. Hier sind wir uns glaube ich nicht mehr einig?

du errätst aber auch alles.

Multipliziere ich die Zahl 0,4 mit der 3 im 12er-System, erhalte ich 1. Hier sind wir uns auch einig glaube ich.
Wenn du die Existenz der Zahl 0,33.. akzeptierst, müsstest du auch die Zahl 0,99... akzeptieren.

ach ja, müsste ich das? Und warum sollte ich das müssen?

Daher nehme ich an, für dich ist nicht nur die Zahl 0,99... keine Zahl ist, sondern auch 0,33... keine Zahl ist.

interessant, was du so alles annimmst. Ist aber leider falsch, was du annimmst. Selbstverständlich ist (0,33...)_10 = (1/3)_10 = (1/3)_12 = (0,4)_12 eine Zahl. Hinweis: das ()_10 dient zur Kennzeichnung des Dezimalsystems, da du ja andere Zahldarstellungssysteme ins Spiel gebracht hast.

Es wäre auch interessant zu erfahren, warum deiner Meinung nach die 0,333... und 0,999... keine zahlen sind.

ich bin nicht der Meinung, dass (0,333...)_10 keine Zahl wäre. Dass (0,99...)_10 keine Zahl ist, liegt daran, dass es keine Zahl (0,999...)_10 gibt.

- - - Aktualisiert - - -

Es gilt \sum_{i=1}^\infty 9 * 10^(-i) = 0,999999999... per Definition.

nein, das gilt eben nicht per Definition. Per definition gilt, dass das n-te Folgeglied

a_n = \sum_{i=1}^n 9 * 10^(-i)

ist, daraus folgt, dass der Grenzwert der Folge

a = \sum_{i=1}^\infty 9 * 10^(-i)

ist, was = 1 ist.

Dies ist gleich 1, wie ich bewiesen habe.

das hast du nicht bewiesen, das hast du vorausgesetzt. Aus einer Voraussetzung abzuleiten, dass die Voraussetzung gilt, ist kein Beweis.

Du bist mir aber noch die Antwort auf die Frage schuldig, wer Dir erzählt hat, dass 0,999999... ungleich 3 * 0,333333... gilt.

niemand hat mir das erzählt. Ich vertrete auch gar nicht die Ansicht, dass 0,999... ungleich 3 * 0,333... wäre. Dazu müsste 0,999... ja erst einmal definiert sein, damit ein Vergleich mit einer Zahl (wie z.B. 3 * 0,333... = 1) möglich wäre.

[Halman]

Demzufolge ist die Schreibweise 0,99999... eine unzulässige Schreibweise für 1. Unser Dezimalsystem gibt diese Schreibweise aber her. Wenn ich drei mal 0,33333... addiere, erhalte ich 0,99999... (die angehängten drei Punkte sollen die Periode symbolisieren).

#0,33333...
+0,33333...
+0,33333...
_________
=0,99999...
========

Was ist an dieser Addition falsch?

Laut Wikipedia besteht eine Doppeldeutigkeit der Darstellung im Dezimalsystem. Darin heißt es:

Aus dieser Identität kann man weiter folgern, dass viele rationale Zahlen (nämlich alle mit endlicher Dezimalbruchentwicklung mit Ausnahme der 0) auf zwei verschiedene Weisen darstellbar sind: entweder eben als endlicher Dezimalbruch mit Periode 0, oder als unendlicher mit Periode 9. Um die Darstellung eindeutig zu machen, kann man die Periode 9 (oder seltener die Periode 0) jedoch schlicht verbieten und sich auf endliche Dezimalbrüche beschränken.

Mir ist nichts davon bekannt, dass die Schreibweise verboten wäre. Wenn dem so ist, hätte ich dafür gerne eine seriöse Quelle.

[irony]

Demzufolge ist die Schreibweise 0,99999... eine unzulässige Schreibweise für 1. Unser Dezimalsystem gibt diese Schreibweise aber her. Wenn ich drei mal 0,33333... addiere, erhalte ich 0,99999... (die angehängten drei Punkte sollen die Periode symbolisieren).

#0,33333...
+0,33333...
+0,33333...
_________
=0,99999...
========

Was ist an dieser Addition falsch?

Es ist alles eine Frage, wie die Zahlen und ihre Darstellung definiert sind. Wenn die Definition so ist, dass die Dezimaldarstellung eindeutig ist, kommt bei der Addition natürlich 1 heraus. Zahldarstellungen mit Neunerperioden sind im Grunde überflüssig.

[Halman]

Es ist alles eine Frage, wie die Zahlen und ihre Darstellung definiert sind. Wenn die Definition so ist, dass die Dezimaldarstellung eindeutig ist, kommt bei der Addition natürlich 1 heraus. Zahldarstellungen mit Neunerperioden sind im Grunde überflüssig.

Ja, selbstverständlich sind sie dass. Darauf folgt aber nicht, dass diese Schreibweise unzulässig wäre. Das Dezimalsystem gibt sie ja her.

[irony]

Ja, selbstverständlich sind sie dass. Darauf folgt aber nicht, dass diese Schreibweise unzulässig wäre. Das Dezimalsystem gibt sie ja her.

Offensichtlich gibt es nicht nur ein Dezimalsystem. Es gibt ein Dezimalsystem, in dem die Darstellungen der Zahlen eindeutig sind, und in diesem gibt es für die Zahl 1 keine weitere Darstellung. In anderen Dezimalsystemen kann das anders sein.

[ChrisArcher]

Offensichtlich gibt es nicht nur ein Dezimalsystem. Es gibt ein Dezimalsystem, in dem die Darstellungen der Zahlen eindeutig sind, und in diesem gibt es für die Zahl 1 keine weitere Darstellung. In anderen Dezimalsystemen kann das anders sein.

Doch, es gibt nur ein Dezimalsystem, nur die Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Das sieht man bereits an dem Beispiel

0,9999999... = 1.

[irony]

Doch, es gibt nur ein Dezimalsystem, nur die Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Das sieht man bereits an dem Beispiel

0,9999999... = 1.

Das ist Dein Dezimalsystem, aber nicht meins. In meinem Dezimalsystem gibt es keine Neunerperioden, da mein Dezimalsystem so definiert ist, dass die Darstellung eindeutig ist. Wenn Du ein anderes benutzt, ist das Dein gutes Recht, aber das ist nun mal Definitionssache, und da kannst Du nicht einfach über andere Menschen bestimmen.

[ChrisArcher]

Das ist Dein Dezimalsystem, aber nicht meins. In meinem Dezimalsystem gibt es keine Neunerperioden, da mein Dezimalsystem so definiert ist, dass die Darstellung eindeutig ist. Wenn Du ein anderes benutzt, ist das Dein gutes Recht, aber das ist nun mal Definitionssache, und da kannst Du nicht einfach über andere Menschen bestimmen.

Du benutzt aber auch ein Stellenwertsystem. Das Dezimalsystem mit Stellenwertsystem ist aber in seiner mathematischen Definition eindeutig. Du kannst somit entweder dieses benutzen oder gar keins. Das hat auch nichts damit zu tun, über andere zu bestimmen.

Wie ist denn das, was Du als Dein Dezimalsystem bezeichnest, definiert?

[irony]

Wie ist denn das, was Du als Dein Dezimalsystem bezeichnest, definiert?

Neunerperioden sind einfach ausgeschlossen. Diese Wahlfreiheit hat man.

Wenn man Neunerperioden zulässt, kann man genügend Argumente für die Gleichheit von 0.9999... und 1 finden: 0.999... - Wikipedia, the free encyclopedia...

[Agent Scullie]

Es sollte beachtet werden, dass es ja um Spocky's Frage ging, wie groß die Differenz zwischen 1 und 0,9999... wäre, ob 0 oder unendlich klein. Wenn 0,9999... nur eine andere Schreibweise für 1 ist, dann führt das die Frage ja ad absurdum, da sie voraussetzt, dass es sich um zwei nicht-identische Zahlen handele.

[irony]

Es sollte beachtet werden, dass es ja um Spocky's Frage ging, wie groß die Differenz zwischen 1 und 0,9999... wäre, ob 0 oder unendlich klein. Wenn 0,9999... nur eine andere Schreibweise für 1 ist, dann führt das die Frage ja ad absurdum, da sie voraussetzt, dass es sich um zwei nicht-identische Zahlen handele.

Streng genommen müsste noch jemand beweisen, dass die Differenz zweier gleicher Zahlen 0 ist. Ich hoffe, dass das nicht zu schwer ist.

[ChrisArcher]

Streng genommen müsste noch jemand beweisen, dass die Differenz zweier gleicher Zahlen 0 ist. Ich hoffe, dass das nicht zu schwer ist.

Seien a und b zwei gleiche Zahlen. Dann gilt nach Voraussetzung

a = b.

Subtraktion von b von beiden Seiten der Gleichung liefert die Gleichung

a - b = 0.

Somit ist die Differenz zweier gleicher Zahlen gleich 0.

[Spocky]

wenn du unendlich viel Zeit zulässt, haust du dir aber die Grundlage für deine These, das unendlich große sei praktisch nicht erreichbar, unter den Füßen weg.

Es ist aber praktisch nicht zu erreichen, weil wir nicht unendlich Zeit haben. Allerdings kannst du mir auch kein Objekt zeigen, das annähernd so groß wäre, dass das überhaupt notwendig wäre

[ChrisArcher]

Es ist aber praktisch nicht zu erreichen, weil wir nicht unendlich Zeit haben. Allerdings kannst du mir auch kein Objekt zeigen, das annähernd so groß wäre, dass das überhaupt notwendig wäre

Unendlich viel Zeit zuzulassen bedeutet ja noch nicht, dass dieses Zeitintervall auch komplett durchlaufen werden muss. Letzteres wäre in der Tat nicht möglich, ersteres für gewisse theoretische Überlegungen schon.