Wer kann 4D denken?

[McWire]

Bah! Mit Mathematik kann man alles Mögliche ausdrücken. Mit Matrizen sind unendlich viele Dimensionen möglich. Aber wie sieht es mit Raumdimensionen aus? Wie zeichnet man einen vierdimensionalen Raum, bei dem die Richtungsachsen Nullstellen aller anderen Achsen sind??

Raumdimensionen sind nichts anderes als Richtungsvektoren.

In einem 2D-Raum hast du halt 2 Vektoren die senkrecht aufeinander stehen, im 3D-Raum 3 Vektoren und im 4D-Raum 4 Vektoren die senkrecht zueinander sind.

Natürlich kann man das nicht optisch darstellen, da unsere Wahrnehmung auf drei Raumdimensionen beschränkt ist. Unsere Sinnesorgane sind an Materie und Energie gebunden und beides kommt in unserem Lebensraum nur dreidimensional vor.

Aber die mathematische Darstellung eines vierdimensionalen euklidischen Raumes ist trivial und damit herum zu rechnen ist es eigentlich auch.

Mit etwas Wissen und Einarbeitungszeit kann man sicher auch all unsere physikalischen Gesetze auf eine vierdimensionale Ebene "umrechnen", wobei sich aber dann das Universum signifikant verändern wird, da die Elementarkräfte dann plötzlich nicht mehr von r² sondern von r³ abhängen.

Und rein geometrisch betrachtet ist selbst die Lösung des Problems "4D-Hyperkugel passiert 3D-Ebene" möglich und aus Sicht des 3D-Raumes darstellbar.

Die Hyperkugel fängt halt als Singularität an, wird zu einer expandierenden Kugel bis zum maximalen Umfang und schrumpft dann wieder zu einer Singularität und verschwindet.

[Agent Scullie]

Und trotzdem, ich kann behaupten, dass kein Wesen in unserem Universum sich einer weiteren Dimension wirklich bewusst werden kann als die, in der er sich selbst befindet.

du legst hier zugrunde, dass sich jedes Wesen immer nur ein einer Dimension befindet. Als jemandem, der so viel Wert auf die Anschauung legt, sollte dir aber klar sein, dass wir uns nicht in einer einzigen Dimension befinden, sondern in dereren drei (auch als Länge, Breite und Höhe bekannt).

Nur ein 3D-Wesen kann sagen wie ein 2D-Wesen ein 3D-Körper wahrnehmen würde. Und trotzdem könnte es dem 2D-Wesen das nicht erklären, da das 2D-Wesen das 3D-Wesen nicht wahrnehmen könnte.

was unterscheidet 2D- und 3D-Wesen von Wesen, die sich in einer Dimension befinden?

[Halman]

Auf jeden Fall wäre das Auftauchen, das scheinbare Anwachsen und das Verschwinden einer Hyperkugel für uns völlig unvorhersehbar und erstmal für uns nicht logisch erklärbar (bis dann jemand darauf kommt, dass sich dieses Phänomen mit einer vierten Raumdimension erklären lässt).
IMHO unterliegt auch eine Hyperkugel den Naturgesetzen einer 5-Dimensionalen Raumzeit, aber da uns stehts Informationen fehlen, wäre für uns das Verhalten der Hyperkugel völlig unvorsehbar und folglich chaotisch.

Das erinnert mich an die Quantenmechanik. Dort scheint auch vieles Zufällig zu sein - das Verhalten eines einzelnes Teilchen ist nicht vorrausberechenbar (soweit ich weiß).


Jetzt frage ich mich, ob eine Hyperkugel überhaupt durch die Gravitation beeinflusst wird.

[Cordess]

Wow, was habt ihr denn alle genommen? Den Stoff will ich auch haben :-) Wir können uns keine 4-Dimensionen vorstellen. Egal ob wir es mathematisch versuchen oder sonst wie. Genauso wenig wie ein 2D-Wesen eine belegte Theorie über den dritten Raum aufstellen könnte, können wir keine über den vierten Raum aufstellen.

Die 5. Dimension sei die Zeit.
Und die 1. - 3. Dimension unser bekannter 3d Raum.
Nun substituieren wir die 4. Dimension durch die Helligkeit des 3d Objekts
und schon können wir die 4. Dimension wahrnehmen.

Geht doch!


Ürbigens, man könnte auch die Farbe nehmen, damit wäre noch eine weitere Dimension
als räumliches Objekt darstellbar.
Eine Rotverschiebung würde einer Verschiebung nach Links auf der W Achse entsprechen
und eine Verschiebung ins Blaue einer Verschiebung nach Rechts auf der W Achse.
Die W Achse sei hierbei die Achse für die oben genannte Dimension.

Das einzige Problem bei der Substition durch die Farbe oder Helligkeit wäre die begrenzte
Abstufungsmöglichkeit.
Schon ein typisches einfaches Graustufenbild am Computer kennt nur 256 Werte.

Dabei fällt mir gerade ein.
Die Temperatur des Objekts und eine dem Objekt zugewiesene Frequenz könnte man ebenfalls noch zur Substitution zwei weiterer Dimensionen einsetzen, nur wird es dann halt mit der Darstellung schwierig. Eine Messung wäre aber denkbar.


.
EDIT (autom. Beitragszusammenführung) :
Cordess schrieb nach 6 Minuten und 32 Sekunden:

IMHO unterliegt auch eine Hyperkugel den Naturgesetzen einer 5-Dimensionalen Raumzeit, aber da uns stehts Informationen fehlen, wäre für uns das Verhalten der Hyperkugel völlig unvorsehbar und folglich chaotisch.

Da stellt sich die Frage bezügl. der Quantenphysik:

Sind verschränkte Photonen in einer 5. Dimension miteinander verbunden?

Jetzt frage ich mich, ob eine Hyperkugel überhaupt durch die Gravitation beeinflusst wird.

Ja, denn die Zeit (unsere 4. bekannte Dimension) wird ja ebenfalls durch die Gravitation beeinflußt.

[Kristian]

Ach Leute :-) Die Definition, dass die 4.Dimension die Zeit ist, ist doch nur eine Vereinbarung von uns Menschen. Für ein 2D-Wesen wäre dann analog die 3.Dimension die Zeit, weil es sich keine weitere Raumdimension vorstellen könnte.

Mit Raumdimension ist wirklich die räumliche Darstellung gemeint. Und keine Verktoren oder Matrizen. Ich weiss dass Vektoren mit unendlich vielen Koordinaten beschrieben sein können, aber das meine ich nicht.

Unsere Definition von 4. und 5. Dimension hätte genauso gut als "Blublag" und "SnuSnu" bezeichnen werden können. Das sind nur erdachte Dimensionen, die es in unserer Welt als Raumdimensionen nicht gibt.

Alle errechneten Gesetzmäßigkeiten auf die 4. und 5.Dimension sind auch nur reine Berechnungen und wir gehen bei diesen Berechnungen immer von unserer 3.Dimension aus. D.h. wir schließen aus dem Verhältnis der 2.Dimension zur 3.Dimension auf die 4.Dimension.

Ein 2D-Wesen würde genauso verfahren. Es kann sich eine 1D-Welt "vorstellen" und kann diese mit der eigenen 2D-Welt vergleichen. Daraus definiert es dann eine weitere Raumdimension. Und doch könnte es sich die dritte Raumdimension nicht vorstellen, da es keine Möglichkeit sieht die dritte Achse im Koordinatensystem zu platzieren.

Für uns 3D-Wesen ist die Lösung natürlich trivial. Doch wir können dafür die vierte Achse nirgendwo platzieren.

Ahso, und die Behauptung, dass 2D-Wesen eine Kugel, die ihre 2D-Welt schneidet, als Strich sehen würden, ist falsch. Für 2D-Wesen gibt es keine Frontansicht. Ein Strich muss eine gewisse Dicke haben, damit man diesen Wahrnehmen kann. In einer 2D-Welt gibt es aber keine Dicke bzw. kein Volumen. Ergo können 2D-Wesen nichts sehen. Die einzige Möglichkeit der 2D-Wesen mit anderen 2D-Wesen zu interagieren ist nur über direkte Kollision.

[McWire]

Ahso, und die Behauptung, dass 2D-Wesen eine Kugel, die ihre 2D-Welt schneidet, als Strich sehen würden, ist falsch. Für 2D-Wesen gibt es keine Frontansicht. Ein Strich muss eine gewisse Dicke haben, damit man diesen Wahrnehmen kann. In einer 2D-Welt gibt es aber keine Dicke bzw. kein Volumen. Ergo können 2D-Wesen nichts sehen. Die einzige Möglichkeit der 2D-Wesen mit anderen 2D-Wesen zu interagieren ist nur über direkte Kollision.

Ein Wesen das an eine 2D-Welt angepasst ist, hat natürlich auch 2D-Sinnesorgane und würde auch eine unendlich dünne Linie wahrnehmen.

Die "Dicke" einer Linie ist unerheblich für dessen Existenz.

Eine 3D-Kugel würde den 2D-Raum als 2D-Objekt schneiden, welches über eine 1D-Grenze verfügt.

Eine 4D-Hyperkugel würden den 3D-Raum als 3D-Objekt schneiden, welches über eine 2D-Grenze verfügt.

[Cordess]

Für uns 3D-Wesen ist die Lösung natürlich trivial. Doch wir können dafür die vierte Achse nirgendwo platzieren.

Plazieren vielleicht nicht, aber wir können es uns vorstellen.
Wir plazieren die vierte Achse einfach in Parallelwelten, wobei die Koordinate 0 unsere Welt ist.

Ahso, und die Behauptung, dass 2D-Wesen eine Kugel, die ihre 2D-Welt schneidet, als Strich sehen würden, ist falsch. Für 2D-Wesen gibt es keine Frontansicht. Ein Strich muss eine gewisse Dicke haben, damit man diesen Wahrnehmen kann. In einer 2D-Welt gibt es aber keine Dicke bzw. kein Volumen. Ergo können 2D-Wesen nichts sehen. Die einzige Möglichkeit der 2D-Wesen mit anderen 2D-Wesen zu interagieren ist nur über direkte Kollision.

Das ist Quatsch, da eine Dicke durch ein Volumen gegeben ist und ein Volumen gibt es nur im 3d Raum.
Daher sehen 2d Wesen in ihrer 2d Welt sehr wohl einen Strich oder besser gesagt ein Hinderniss, da ihre Sinnesorgane für die 2d Welt ausgelegt ist.

[Kristian]

Ein Wesen das an eine 2D-Welt angepasst ist, hat natürlich auch 2D-Sinnesorgane und würde auch eine unendlich dünne Linie wahrnehmen.

Die "Dicke" einer Linie ist unerheblich für dessen Existenz.

Eine 3D-Kugel würde den 2D-Raum als 2D-Objekt schneiden, welches über eine 1D-Grenze verfügt.

Eine 4D-Hyperkugel würden den 3D-Raum als 3D-Objekt schneiden, welches über eine 2D-Grenze verfügt.

Es gibt in einer 2D-Welt kein unendlich dünn. Das ist ja das Problem sich sowas überhaupt vorzustellen. Es gibt in einer 2D-Welt überhaupt keine "Dicke".
Okay, über sowas wie Radar könnten die 2D-Wesen die Umgebung auch wahrnehmen: Über Stauchung und Dehnung wird eine "Welle" losgeschickt und empfangen. Doch wird es für uns 3D-Wesen etwas grenzwertig sich vorzustellen, dass die 2D-Wesen nur 1D-Signale empfangen, die keine "Dicke" haben. Schonmal versucht sich einen Strich ohne "Dicke" vorzustellen? Nicht im mathematischen Sinne natürlich.

Analog: Wir 3D-Wesen emfangen nur 2D-Signale in einem 3D-Raum. Diese werden durch unsere stereoskopische Wahrnehmung in 3D umgerechnet.

Meintest du das mit den Grenzen? Die Art wie wir die Signale empfangen?

[McWire]

Es gibt in einer 2D-Welt kein unendlich dünn. Das ist ja das Problem sich sowas überhaupt vorzustellen. Es gibt in einer 2D-Welt überhaupt keine "Dicke".
Okay, über sowas wie Radar könnten die 2D-Wesen die Umgebung auch wahrnehmen: Über Stauchung und Dehnung wird eine "Welle" losgeschickt und empfangen. Doch wird es für uns 3D-Wesen etwas grenzwertig sich vorzustellen, dass die 2D-Wesen nur 1D-Signale empfangen, die keine "Dicke" haben. Schonmal versucht sich einen Strich ohne "Dicke" vorzustellen? Nicht im mathematischen Sinne natürlich.

Analog: Wir 3D-Wesen emfangen nur 2D-Signale in einem 3D-Raum. Diese werden durch unsere stereoskopische Wahrnehmung in 3D umgerechnet.

Meintest du das mit den Grenzen? Die Art wie wir die Signale empfangen?

Ich denke das dieses Hindernis von dem fiktiven Wesen wahrgenommen wird, auch wenn es keine Dicke hat. Natürlich können wir uns das optisch nur schwer vorstellen, aber bei geeigneter Signalausbreitung kann man dieses Hindernis nachweisen und in eine optische Darstellung "umrechnen"... so wie erst unser Gehirn den Signalen der Augen eine Form gibt.

[Halman]

Da stellt sich die Frage bezügl. der Quantenphysik:

Sind verschränkte Photonen in einer 5. Dimension miteinander verbunden?

Ein interessanter Gedanke. Obwohl ich zugebe, dass mir die Quantenphysik Kopfschmerzen bereitet. Da erscheint mir die Hyperkugel leichter verständlich.

Ja, denn die Zeit (unsere 4. bekannte Dimension) wird ja ebenfalls durch die Gravitation beeinflußt.

Da bin ich nicht so sicher. Die Gravitation ist die Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit und fällt in ihrer Wirkung mit dem Abstandsquadrat ab. Wäre die Gravitation eine Krümmung einer 5-dimensionalen Raumzeit, würde sie mit dem der dritten Potenz des Abstandes abfallen. Dies würde zu einem völlig anderen Universum führen, als das unsrige.
Daher vermute ich, dass die Gravitation auf die vierte Raumdimension keinerlei Auswirkungen hat.

[Kristian]

Ich denke das dieses Hindernis von dem fiktiven Wesen wahrgenommen wird, auch wenn es keine Dicke hat. Natürlich können wir uns das optisch nur schwer vorstellen, aber bei geeigneter Signalausbreitung kann man dieses Hindernis nachweisen und in eine optische Darstellung "umrechnen"... so wie erst unser Gehirn den Signalen der Augen eine Form gibt.

Ja, da hast Du recht. Hindernisse werden zwar wahrgenommen. Aber trotzdem auf eine ganz andere Art als wir es uns vorstellen können. Wir 3D-Wesen würden uns einfach eine "Draufsicht" danke der empfangenen Signale vorstellen. 2D-Wesen kennen aber so eine Definition nicht. Es gibt keine "Draufsicht" in einer 2D-Welt, da es kein "drunter" oder "drüber" gibt.

Generell muss man sich fragen ob 2D-Wesen sich genau so 2D-Objekte vorstellen könnten wie wir. Wenn wir z.B. an einen Kreis denken, dann stellen wir uns meistens eine Draufsicht vor. So ein 2D-Wesen weiß zwar wie sich so ein Kreis außen anfühlt, aber es wird sich niemals eine Draufsicht vorstellen können.

Ich denke, dass dies auch bei uns 3D-Wesen der Fall ist. Wir können uns einfach keine "Draufsicht" auf unsere Welt vorstellen. Diese Draufsicht müsste von außerhalb unserer Raumdimensionen ausgehen ;-)

[McWire]

wer von euch weiß, wie man 2 ebenen im R4 schneidet? ich kann 2+3 hyperebenen, 2 geraden miteinander schneiden.

Das müsste eigentlich analog zu dem Problem "2 Gerade im 3D-Raum" sein.

Auch hier gibt es die Varianten "parallel zueinander", "windschief" und "schneiden sich".

Mathematisch müsste man die Vektoren vierdimensional machen:

Ebene im 3D-Raum = n*(x1;y1;z1) + (x2;y2;z2)

Ebene im 4D-Raum = n*(x1;y1;z1;h1) + (x2;y2;z2;h2)

Die Schnittgleichungen funktionieren genauso wie die des 3D-Raumes, nur das man bei Vektorprodukten nun keine 3x3-Matrix hat sondern dann eine 4x4-Matrix.

Bei Gelegenheit werde ich mir mal ein Mathematikbuch krallen und hier ein Beispiel vorrechnen.

So und nun erstmal gn8

[Cordess]

Laut folgender Sendung gibt es maximal nur 3 Dimensionen, weil sonst die Planetenbahnen nicht stabil wären:

Wieviele Dimensionen hat das Universum?
Video: Wieviele Dimensionen hat das Universum? | alpha-Centauri | BR-alpha | BR


Nun wird im weiteren Verlauf der Sendung aber gesagt, daß, wenn es mehr Dimensionen gäbe, diese kurz nach dem Urknall sich zusammengerollt haben müssen.

Frage:
Wie sieht eine zusammengerollte Dimension aus?
Wie soll man sich das vorstellen?


Eine normale Raumdimension ist ziemlich gerade, es geht vor und zurück auf einer unendlichen Gerade.
Aber wenn ich so eine 4. Dimension mir aufgerollt vorstelle, dann geht die ja irgendwie im Kreis bzw. wie soll die alle Atome im Universum erreichen, wenn
sie sich wegen der Aufgerolltheit im Kreis dreht?

[Agent Scullie]

Laut folgender Sendung gibt es maximal nur 3 Dimensionen, weil sonst die Planetenbahnen nicht stabil wären:

das bezieht sich aber nur auf Raumdimensionen, nicht auf die Zeitdimension.

Nun wird im weiteren Verlauf der Sendung aber gesagt, daß, wenn es mehr Dimensionen gäbe, diese kurz nach dem Urknall sich zusammengerollt haben müssen.

Frage:
Wie sieht eine zusammengerollte Dimension aus?
Wie soll man sich das vorstellen?

ein häufig genannte Analogie ist der Gartenschlauch. Dessen Oberfläche ist zweidimensional, eine der beiden Dimensionen ist aber auf den Schlauchumfang eingerollt. Auf Skalen, die groß sind gegen den Schlauchumfang, sieht der Schlauch eindimensional aus.

Eine normale Raumdimension ist ziemlich gerade, es geht vor und zurück auf einer unendlichen Gerade.
Aber wenn ich so eine 4. Dimension mir aufgerollt vorstelle, dann geht die ja irgendwie im Kreis bzw. wie soll die alle Atome im Universum erreichen, wenn
sie sich wegen der Aufgerolltheit im Kreis dreht?

die Atome im Universum liegen nur den Richtungen der nicht-aufgerollten Dimensionen auseinander. In der Gartenschlauch-Analogie sind die Atome alle in Längsrichtung des Schlauchs aufgereiht.

Hier ein Bild zur Gartenschlauch-Analogie:

[Kristian]

Wenn man sich analog eine weitere, vierte Raumdimension dazu denkt, ist diese Welt dann aufgerollt.

Es ist nur aus einer höheren Dimensionsstufe aus möglich die darunter liegenden zu beobachten. Wir 3D-Wesen nehmen unsere Welt in 2D wahr. D.h. alles was wir sehen sind 2D-Projektionen einer 3D-Welt.
In einer 4D-Welt müsste man folglich alles in 3D sehen. D.h. dass man alle Seiten eine Körpers gleichzeitig sehen kann. Dies ist nur durch "aufrollen" oder "drumherumrollen" möglich. So etwas kann aber nur mathematisch beschrieben werden.

Für uns ist das einfach nicht bildlich vorstellbar. Egal wie wir uns anstrengen, es ist unmöglich sich vorzustellen, dass man einen 3D-Körper und die ganze Welt drumherum von allen Seiten gleichzeitig betrachten kann.