Quantenobjekte und Feld - Fragen und Diskussion

[Halman]

Die von Lesch dargestellte Deutung entspricht in etwa der sog. minimalen statistischen Interpretation. Der Nachteil dieser Deutung ist aber, dass sie nur aussagt, was es nicht gibt (nämlich eine real existierende Wellenfunktion), nicht aber, was es denn dann stattdessen gibt. Sozusagen eine Art quantenmechanischer Agnostizismus.

Das erscheint mit recht konservativ und unbefriedigend.

die Wechselwirkung mit einem "makroskopischen" Objekt. Was genau ein "makroskopisches" Objekt ist, wissen die Kopenhagener allerdings selbst nicht so genau.

Eine Katze.

geht man nach der Kopenhagener Deutung, hast du einmal die Wechselwirkung mit der Umgebung, und einmal die Wechselwirkung mit einem "makroskopischen" Objekt, die einen Kollaps auslöst. Solange die Umgebung nicht "makroskopisch" genug ist, gibt es nur Dekohärenz, aber keinen Kollaps.

Also zwei WW:

1. WW führt zur Dekohärenz
2. WW führt zum Kollaps der Wellenfunktion

nein, umgekehrt, die Wechselwirkung mit der Umgebung führt zur Dekohärenz.

nein, die Wechselwirkung, die zur Dekohärenz führt, ist eine Wechselwirkung mit einer Umgebung, die nicht "makroskopisch" genug ist, um einen Kollaps herbeizuführen. Wenn sie "makroskopisch" genug ist, führt sie zum Kollaps, nicht zur Dekohärenz.

nein, die Dekohärenz ist kein Wechselwirkung, sondern wird durh eine Wechselwirkung ausgelöst.

Hm - also ist die Dekohärenz das Resultat der Übertragung der Wellenfunktion des Quantenobjektes auf die Umgebung. Kollabiert die Wellenfunktion, endet damit die Dekohärenz, gibt es keinen Kollaps, haben wir sehr viele Welten (außer in Kopenhagen natürlich ).

nein, der Kollaps resultiert aus einer Wechselwirkung mit einem "makroskopischen" Objekt. Wenn die Umgebung, mit der das System wechselwirkt, "makroskopisch" genug ist, führt sie statt zur Dekohärenz zum Kollaps.

Also führt die Übertragung der Superpostion eines Quantenobjektes in Falle der WW mit der makrokosmischen Umgebung zum Kollaps der Wellenfunktion, womit alles in der makrokosmischen Welt klassisch positioniert bleibt, indem sie auch dem Quantenobjekt eine eindeutige Positionierung aufzwingt?

ja, einmal die, die zur Dekohärenz führt, und die, die zum Kollaps führt. Wobei das auch dieselbe sein kann, wenn die Umgebung "makroskopisch" genug ist.

Mir fehlen nur die "schröderischen Katzengene", um dies zu verstehen. Also doch nur EINE WW nach der kopenhagener Deutung? Kommt darin überhaupt die Dekohärenz vor?

[Agent Scullie]

Danke für diese Erkärung, nun wird es für mich klarer. Aber wird hier nicht mathematischer Formalismus mit physikalischen Realismus vermischt? Sowas deutete jedenfalls Prof. Lesch in verlinken 5min-Video an Mature Content

das ist schön für ihn, dass er das so deutet, das heißt aber nicht dass er damit recht hätte. Man kann wie er der Ansicht sein, dass die Wellenfunktion eines Elektrons nur gedacht sei und nicht wirklich existiere. Man kann aber eben auch anderer Ansicht sein. Das ist ja gerade der Grund, dass es überhaupt unterschiedliche Deutungen der Quantenmechanik gibt. Die von Lesch dargestellte Deutung entspricht in etwa der sog. minimalen statistischen Interpretation. Der Nachteil dieser Deutung ist aber, dass sie nur aussagt, was es nicht gibt (nämlich eine real existierende Wellenfunktion), nicht aber, was es denn dann stattdessen gibt. Sozusagen eine Art quantenmechanischer Agnostizismus.

Was löst diesen Kollaps aus? Die Wechselwirkung?

die Wechselwirkung mit einem "makroskopischen" Objekt. Was genau ein "makroskopisches" Objekt ist, wissen die Kopenhagener allerdings selbst nicht so genau.

[QUOTE=Halman;2607550]Deinen Satz: Nach der Vieleweltendeutung überträgt sich bei Wechselwirkung mit der Umgebung die Unbestimmtheit einfach auf die Umgebung.nach der Vieleweltendeutung passiert das bei der Dekohärenz immer, nach der Kopenhagener Deutung nur solange bis ein Kollaps eintritt.

Deinen Satz: Nach der Kopenhagener Deutung wäre schon die Katze "makroskopisch" genug gewesen, um die Wellenfunktion zum Kollaps zu bringen.
Also führt die Wechselwirkung zum Kollaps, richtig?

die Wechselwirkung mit einem "makroskopischen" Objekt wie der Katze, ja.

Was mich hier verwirrte, ist der Umstand, dass ich die Dekohärenz als selbige Wecheslwirkung verstand.

geht man nach der Kopenhagener Deutung, hast du einmal die Wechselwirkung mit der Umgebung, und einmal die Wechselwirkung mit einem "makroskopischen" Objekt, die einen Kollaps auslöst. Solange die Umgebung nicht "makroskopisch" genug ist, gibt es nur Dekohärenz, aber keinen Kollaps.

Sondern zur Wechselwirkung mit der Umgebung

nein, umgekehrt, die Wechselwirkung mit der Umgebung führt zur Dekohärenz.

und diese Wechselwirkung führt dann nach der kopenhagener Deutung zum Kollaps, richtig?

nein, die Wechselwirkung, die zur Dekohärenz führt, ist eine Wechselwirkung mit einer Umgebung, die nicht "makroskopisch" genug ist, um einen Kollaps herbeizuführen. Wenn sie "makroskopisch" genug ist, führt sie zum Kollaps, nicht zur Dekohärenz.

Hm - also ist die Dekohärenz eine Wechselwirkung, die zur Übertragung der Superposition auf die benachtbarte Umgebung führt

nein, die Dekohärenz ist kein Wechselwirkung, sondern wird durh eine Wechselwirkung ausgelöst.

und der Kollaps resultiert dann aus dieser daraus resultierenden Wechselwirkung.

nein, der Kollaps resultiert aus einer Wechselwirkung mit einem "makroskopischen" Objekt. Wenn die Umgebung, mit der das System wechselwirkt, "makroskopisch" genug ist, führt sie statt zur Dekohärenz zum Kollaps.

Sind es hier also zwei WW?

ja, einmal die, die zur Dekohärenz führt, und die, die zum Kollaps führt. Wobei das auch dieselbe sein kann, wenn die Umgebung "makroskopisch" genug ist.

[Halman]

Dekohärenz und Wechselwirkungen

weil Dekohärenz bedeutet, dass sich die Superposition eines Systems durch Wechselwirkung mit der Umgebung auf das Gesamtsystem, bestehend aus System + Umgebung, überträgt. Ganz so wie sich nach der Vieleweltendeutung die Superposition eines beobachteten Systems auf das Gesamtsystem aus beobachtetem System und Beobachter überträgt.

Danke für diese Erkärung, nun wird es für mich klarer. Aber wird hier nicht mathematischer Formalismus mit physikalischen Realismus vermischt? Sowas deutete jedenfalls Prof. Lesch in verlinken 5min-Video an Mature Content

ist es ja auch. Aber wenn man nach der Kopenhagener Deutung geht, dann tritt beim Gesamtsystem, auf das sich die Superposition übertragen hat, früher oder später ein Kollaps der Wellenfunktion ein.

Was löst diesen Kollaps aus? Die Wechselwirkung?

was meinst du mit "Folgendes"?

Deinen Satz: Nach der Vieleweltendeutung überträgt sich bei Wechselwirkung mit der Umgebung die Unbestimmtheit einfach auf die Umgebung.

in welchem "Folgenden"?

Deinen Satz: Nach der Kopenhagener Deutung wäre schon die Katze "makroskopisch" genug gewesen, um die Wellenfunktion zum Kollaps zu bringen.
Also führt die Wechselwirkung zum Kollaps, richtig?

Was mich hier verwirrte, ist der Umstand, dass ich die Dekohärenz als selbige Wecheslwirkung verstand.

richtig.

Sondern zur Wechselwirkung mit der Umgebung und diese Wechselwirkung führt dann nach der kopenhagener Deutung zum Kollaps, richtig?

sicher, derart, dass sich durch die Dekohärenz zunächst die Superposition eines Systems auf das Gesamtsystem aus System und Umgebung überträgt, und dann irgendwann die Wellenfunktion dieses Gesamtsystems kollabiert.

Hm - also ist die Dekohärenz eine Wechselwirkung, die zur Übertragung der Superposition auf die benachtbarte Umgebung führt und der Kollaps resultiert dann aus dieser daraus resultierenden Wechselwirkung.
Sind es hier also zwei WW?

[Agent Scullie]

Diese Antwort aus dem Nachbarthread verstehe ich leider nicht. Warum führt die Dekohärenz zu vielen Welten?

weil Dekohärenz bedeutet, dass sich die Superposition eines Systems durch Wechselwirkung mit der Umgebung auf das Gesamtsystem, bestehend aus System + Umgebung, überträgt. Ganz so wie sich nach der Vieleweltendeutung die Superposition eines beobachteten Systems auf das Gesamtsystem aus beobachtetem System und Beobachter überträgt.

Ich ging [wohl irrtümlich] davon aus, dass es sich bei der Dekohärenz um ein Phänomen der Wechselwirkung von Quantenobjekten mit ihrer Umgebuing handelt und dies unabhängig von der Deutung der QM sei.

ist es ja auch. Aber wenn man nach der Kopenhagener Deutung geht, dann tritt beim Gesamtsystem, auf das sich die Superposition übertragen hat, früher oder später ein Kollaps der Wellenfunktion ein.

Oder geschieht im Falle der Dekohärenz immer Folgendes?

was meinst du mit "Folgendes"?

Wird im Folgenden also keine Dekohärenz als Ursache für den Kollaps beschrieben? (Davon ging ich nämlich bisher aus)?

in welchem "Folgenden"?

Also führt die Dekohärenz nicht zum Zusammenbruch der Wellenfunktion.

richtig.

Aber ließe sich die Dekohärenz nicht mit dem Kollaps kombinieren, oder wäre dies falsch?

sicher, derart, dass sich durch die Dekohärenz zunächst die Superposition eines Systems auf das Gesamtsystem aus System und Umgebung überträgt, und dann irgendwann die Wellenfunktion dieses Gesamtsystems kollabiert.

[Halman]

Was ist Dekohärenz?

die Dekohärenz führt nichts zum Kopenhagener Kollaps, sondern in viele Welten.

Diese Antwort aus dem Nachbarthread verstehe ich leider nicht. Warum führt die Dekohärenz zu vielen Welten? Ich ging [wohl irrtümlich] davon aus, dass es sich bei der Dekohärenz um ein Phänomen der Wechselwirkung von Quantenobjekten mit ihrer Umgebuing handelt und dies unabhängig von der Deutung der QM sei.

Oder geschieht im Falle der Dekohärenz immer Folgendes?

nach der Kopenhagener Deutung ja. Nach der Vieleweltendeutung überträgt sich bei Wechselwirkung mit der Umgebung die Unbestimmtheit einfach auf die Umgebung.

Wird im Folgenden also keine Dekohärenz als Ursache für den Kollaps beschrieben? (Davon ging ich nämlich bisher aus)?

Nach der Kopenhagener Deutung wäre schon die Katze "makroskopisch" genug gewesen, um die Wellenfunktion zum Kollaps zu bringen.

Also führt die Dekohärenz nicht zum Zusammenbruch der Wellenfunktion.

Dekohärenz führt nur zu einem verschränkten Zustand mit der Umgebung, wie oben von dir beschrieben. Für einen Kollaps muss man die Kopenhagener Deutung heranziehen.

Aber ließe sich die Dekohärenz nicht mit dem Kollaps kombinieren, oder wäre dies falsch?

[Agent Scullie]

Auf Seite 315 wird auch der Grund dafür genannt, warum es unmöglich war, damals eine allgemeine Feldtheorie zu formulieren (heute gibt es inzwischen vielversprechende Ansätze mit der Superstringtheorie und er Loop-Quantengravitation):

Dieser Gedanke war mir völlig neu.

er ist vor allem gar kein Grund dafür, dass es nicht möglich sei (oder damals nicht möglich gewesen wäre), eine allgemeine Feldtheorie zu formulieren. Eine quantenmechanische Beschreibung von Feldern gibt es ja in Gestalt der Quantenfeldtheorie seit etwa 1930. In der Tat ist in der die Wellenfunktion eines Feldes eine Funktion auf einem unendlichdimensionalen Raum, nämlich dem Raum der klassischen Feldkonfigurationen. Besondere Schwierigkeiten bereitete das bei der Formulierung der QFT eigentlich nicht. Die Problem bei der Quantisierung der Gravitation sind völlig anderer Natur.

So, als wäre jedes Teilchen ein eigenständiges Kontinuum. Für zwei Teilchen braucht man also bereits sechs Dimensionen usw. Ist dies nicht reiner mathematischer Formalismus? Mir scheit jede Wahrscheinlichkeitswolke als eigenständiges Kontinuum beschrieben zu werden, für das statistische Gesetzmäßigekeiten gelten. Oder liege ich mit diesem Denkansatz falsch?

betrachte die Wellenfunktion eines einzigen Teilchens. Die soll die Wahrscheinlichkeit angeben, das Teilchen an einem bestimmten Ort x vorzufinden. Da dieser Ort Element eines 3-dim. Raumes ist, muss folglich die Wellenfunktion auf einem 3-dim. Raum definiert sein.

Jetzt nimm die Wellenfunktion eines Zweiteilchensystems. Diese soll die Wahrscheinlichkeit angeben, ein Teilchen am Ort x1 und das andere am Ort x2 vorzufinden. Die Wellenfunktion muss also die Gestalt psi(x1,x2) haben. x1 und x2 sind jeweils Orte in einem 3-dim. Raum, die Menge allerdings möglichen Kombinationen von x1 und x2 bildet aber einen 2*3 = 6-dimensionalen Raum. Folglich muss die Wellenfunktion psi(x1,x2) auf einem 6-dimensionalen Raum definiert sein. Bei drei Teilchen ist es eine Wellenfunktion psi(x1,x2,x3) auf einem 9-dim. Raum, allgemein bei N Teilchen eine Wellenfunktion psi(x1,x2,...,xN) auf einem 3N-dim. Raum.

Dasselbe Prinzip findet sich eigentlich schon in der klassischen Mechanik: man kann ein System aus N Teilchen mit N Teilchenpositionen im 3-dim. Raum wie ein einziges Teilchen in einem 3N-dimensionalen sogenannten Konfigurationsraum behandeln. Die quantenmechanische Wellenfunktion eines N-Teilchensystems ist dann eine Funktion auf diesem Konfigurationsraum.

Im Grunde ist auch schon die klassische Feldtheorie nichts anderes als eine klassische Teilchenmechanik für ein einziges Teilchen in einem unendlichdimensionalen Raum. Für ein Skalarfeld z.B. steuert jeder Raumpunkt, an dem das Feld existiert, eine Dimension zum Konfigurationsraum des Feldes bei, bei einem Vektorfeld sind es sogar gleich drei Dimensionen.

[Halman]

dualistische Theorie

Heute habe ich eine recht alte Lektüre, nämlich Die Evolution der Physik (von Einstein und Infeld) zuende gelesen. Insgesamt war das Buch recht trocken verfasst, etwas langatmig, aber es enthielt auch Gedankengänge, die ich recht Hilfreich fand.
Für jene, die etwas Ausdauer mitbringen und sich für die Geschichte und Entwicklung der Physik interessieren, empfehle ich es als Grundlagenlektüre, bevor man aktuellere Physikbücher lies.

Das letzte Kapitel widmete sich der Quantentheorie und im Grunde endete es an der Stelle, wo es interessant wurde (ähnlich beim Kapitel über die Relativitätstheorie). Nun werde ich im Anschluss zum zweiten Mal meine aktuelleren Bücher lesen (die ich nun endlich wieder habe), in der Hoffnung, dass ich sie beim nochmaligen Lesen, und dem frischen Hintergrundwissen aus dem alten Physik-Buch, besser verstehe.
Laut dem Buch war es Einsteins sehnlichster Wunsch, alles auf EIN Feld zurückzuführen (dieser Thematik möchte ich in naher Zukunft gerne einen eigenständigen Thread widmen). Ähnlich, wie die ART ist die QM eine dualistische Theorie. Hier der originale Wortlaut aus dem Buch (Seite 316):

Zitat aus Die Evolution der Physik (Die Quantentheorie):
Mit der neuen Quantenphysik entfernen wir uns noch weiter von der alten mechanistischen Auffassung, und ein Rückzug auf die alte Position muß heute als unwahrscheinlicher denn je erscheinen. Wir dürfen uns aber keinesfalls darüber hinwegtäuschen, daß auch die Quantenphysik noch auf den beiden Begriffen Materie und Feld aufgebaut werden muß. Sie ist in diesem Sinne eine dualistische Theorie, die uns in unserem Bestreben, alle Vorgänge auf den Feldbegriff zurückzuführen, nicht einen Schritt weiterbringt.

Auf Seite 315 wird auch der Grund dafür genannt, warum es unmöglich war, damals eine allgemeine Feldtheorie zu formulieren (heute gibt es inzwischen vielversprechende Ansätze mit der Superstringtheorie und er Loop-Quantengravitation):

Wenn für die quantenmäßige Beschreibung von einem Komplex aus zehn Teilchen eine dreißigdimensinale Wahrscheinlichkeitswolke vonnöten ist, dann würde man für eine entsprechende Feldbeschreibung eine unendliche Zahl an Dimensionen brauchen.

Dieser Gedanke war mir völlig neu. So, als wäre jedes Teilchen ein eigenständiges Kontinuum. Für zwei Teilchen braucht man also bereits sechs Dimensionen usw. Ist dies nicht reiner mathematischer Formalismus? Mir scheit jede Wahrscheinlichkeitswolke als eigenständiges Kontinuum beschrieben zu werden, für das statistische Gesetzmäßigekeiten gelten. Oder liege ich mit diesem Denkansatz falsch?

[irony]

Bedeuten tut das z.B., dass wenn man einen Spinzustand mit einer wohldefinierten Komponente in einer Richtung präpariert hat (z.B. z-Richtung), die Wahrscheinlichkeiten dafür, für die beiden dazu senkrecht stehenden Komponenten (x oder y) +1/2 oder -1/2 zu messen, jeweils 1/2 sind.

siehe dazu

Was sagt die Quantenmechanik dazu?

Zu beachten ist, das sich da noch einige Verkomplizierungen ergeben. So misst man nicht mit Spin-1/2-Teilchen, sondern mit Photonen, mit dem Spin 1. Außerdem misst man nicht direkt eine Spinkomponente, sondern die Polarisationsrichtung. Diese hängt folgendermaßen mit der Spinkomponente in Ausbreitungsrichtung zusammen: eine Spinkomponenten von +1 oder -1 (bei einem Spin von 1 gibt es für jede Komponente prinzipiell die Möglichkeiten +1, 0 und -1, bei masselosen Teilchen fällt 0 als möglicher Wert aber weg, so dass es nur zwei Möglichkeiten gibt, ähnlich wie bei Teilchen mit Spin 1/2) würde eine zirkulare Polarisation bedeuten, was den Einsatz von Polfiltern erschweren würde, durch Superposition der Zustände +1 und -1 lässt sich aber ein Zustand mit linearer Polarisation herstellen.

Danke. Das ist sehr interessant. Mittlerweile verstehe ich auch einiges von dem, was du schreibst.

Für ein Neutrino ist das viel leichter, es wechselwirkt nur mit der Schwachen Kernkraft und der Gravitation. Aber bereits ein Molekül wechselwirkt mit allen Grundkräften und die Katze erst recht.

Genauer betrachtet, da Moleküle keine Elementarteilchen sind, sind es Quarks, die an allen vier bekannten fundamentalen Wechselwirkungen beteiligt sind:
- elektromagnetisch
- stark & schwach
- Gravitation

Bei Neutrinos fallen elektromagnetische und starke WW weg, aber wegen der besonderen Schwierigkeiten der schwachen WW und Neutrinooszillationen usw. zählen Neutrinos neben den Quarks wohl zu den besonders schwierig zu verstehenden Elementarteilchen.

Bei Elektronen kommt gegenüber den Neutrinos noch die elektromagnetische WW dazu, wobei man die aber im Grunde bisher noch am besten versteht und Elektronen vermutlich die am besten untersuchten Teilchen sind.

Ich denke, da müsste es auch eine Menge interessanter Experimente geben, z.B. den Quanten-Hall-Effekt, der hier noch gar nicht besprochen wurde.

[Agent Scullie]

Ich zerbreche mir noch immer den Kopf über die für mich so rätzelhafte Quantenmechanik. Das Gedankenexperiment von Schrödingers Katze scheint mir unauflösbar zu sein. Es scheint so, als würden sich die Zustände "Tod" und "Lebendig" überlagern, als sei das makrokosmische Objekt Katze superpositioniert.
Geht das überhaupt? Müsste sich die Katze dazu nicht der "Beobachtung" bzw. der Wechselwirkung entziehen?

nach der Kopenhagener Deutung ja. Nach der Vieleweltendeutung überträgt sich bei Wechselwirkung mit der Umgebung die Unbestimmtheit einfach auf die Umgebung.

Für ein Neutrino ist das viel leichter, es wechselwirkt nur mit der Schwachen Kernkraft und der Gravitation. Aber bereits ein Molekül wechselwirkt mit allen Grundkräften und die Katze erst recht.
In dem Buch las ich dazu folgende Übelegung: Angenommen ein Photon bewegt sich durch das System (der Kasten mit dem experimentellen Aufbau) und trifft auf Schrödingers Katze. Aber halt, wenn sie tot ist, liegt die Katze auf den Boden und das Photon trifft nicht auf die Katze und bewegt sich daher ungehindert durch den Kasten. Ob das Photon also auf die Katze trifft oder nicht, hängt davon ab, in welcher Position sie sich befindet, also, ob sie tot oder lebendig ist. Wären dann Schrödingers Katze und das Photon nicht verschränkt?

ganz recht. Zumindest nach der Vieleweltendeutung. Nach der Kopenhagener Deutung wäre schon die Katze "makroskopisch" genug gewesen, um die Wellenfunktion zum Kollaps zu bringen.

Aber da die Katze kein Neutrino ist, wechselwirkt sie natürlich mit ganz vielen Photonen, atmet Luft usw. Führt diese Wechselwirkung nicht zum Kollabs der überlagerten Zustände der Katze infolge der Dekohärenz?

Dekohärenz führt nur zu einem verschränkten Zustand mit der Umgebung, wie oben von dir beschrieben. Für einen Kollaps muss man die Kopenhagener Deutung heranziehen.

[Halman]

Dekohärenz - Ist Schrödingers Katze superpositioniert?

Ich zerbreche mir noch immer den Kopf über die für mich so rätzelhafte Quantenmechanik. Das Gedankenexperiment von Schrödingers Katze scheint mir unauflösbar zu sein. Es scheint so, als würden sich die Zustände "Tod" und "Lebendig" überlagern, als sei das makrokosmische Objekt Katze superpositioniert.
Geht das überhaupt? Müsste sich die Katze dazu nicht der "Beobachtung" bzw. der Wechselwirkung entziehen? Wie sollte die Katze das zustande bringen.

Für ein Neutrino ist das viel leichter, es wechselwirkt nur mit der Schwachen Kernkraft und der Gravitation. Aber bereits ein Molekül wechselwirkt mit allen Grundkräften und die Katze erst recht.
In dem Buch las ich dazu folgende Übelegung: Angenommen ein Photon bewegt sich durch das System (der Kasten mit dem experimentellen Aufbau) und trifft auf Schrödingers Katze. Aber halt, wenn sie tot ist, liegt die Katze auf den Boden und das Photon trifft nicht auf die Katze und bewegt sich daher ungehindert durch den Kasten. Ob das Photon also auf die Katze trifft oder nicht, hängt davon ab, in welcher Position sie sich befindet, also, ob sie tot oder lebendig ist. Wären dann Schrödingers Katze und das Photon nicht verschränkt?

Aber da die Katze kein Neutrino ist, wechselwirkt sie natürlich mit ganz vielen Photonen, atmet Luft usw. Führt diese Wechselwirkung nicht zum Kollabs der überlagerten Zustände der Katze infolge der Dekohärenz?

[Agent Scullie]

Damit meinst du vermutlich die Spinquantenzahl s, die aber selbst kein Eigenwert ist, wenn ich das richtig sehe.

sie ist selbst kein Eigenwert, aber eng mit einem solchen verwandt. Das Spinquadrat (\vec S)² hat den Eigenwert hbar s(s+1), für s = 1/2 ist das 3/4 hbar.

Wie sähe das dann aus und was bedeutet das ?

das kann man sich z.B. anhand der Pauli-Matrizen:

Pauli-Matrizen ? Wikipedia

klarmachen. Man stellt Spinzustände mit wohldefinierter z-Komponente als zweidimensionale Vektoren (Spinoren) in einem abstrakten Spinraum dar, s_z = +1/2 als (1,0), s_t = -1/2 als (0,1). Dann gilt für die Operatoren der Spinkomponenten

S_x = sigma_1 / 2, S_y = sigma_2 / 2, S_z = sigma_3 / 2

Um z.B. die Eigenzustände von S_x zu bestimmen, muss man die Eigenwertgleichung

S_x (chi1, chi2) = s_x (chi1, chi2)

<=> 1/2 ((0,1),(1,0)) (chi1, chi2) = s_x (chi1, chi2)

lösen, wobei (chi1, chi2) der gesuchte Eigenzustand (als Spinor, d.h. Vektor im 2-dim. Spinraum) ist und s_x der zugehörige Eigenwert. Als möglichen Lösungen ergeben sich:

(chi1, chi2) = (1,1) mit s_x = +1/2
(chi1, chi2) = (1,-1) mit s_x = -1/2

wie man durch Nachrechnen leicht bestätigen kann:

1/2 ((0,1),(1,0)) (1,1) = 1/2 (1,1)
1/2 ((0,1),(1,0)) (1,-1) = 1/2 (-1,1) = -1/2 (1,-1)

Anmerkung: wer die Multiplikation Matrix*Vektor nicht kennt, die geht so:

((m11,m12),(m21,m22)) (v1,v2) = (m11 * v1 + m12 * v2, m21 * v1 + m22 * v2)

Man erkennt somit:

|s_x=+1/2> = 1/sqrt(2) (1,1) = 1/sqrt(2) (|s_z=+1/2> + |s_z=-1/2>)
|s_x=-1/2> = 1/sqrt(2) (1,-1) = 1/sqrt(2) (|s_z=+1/2> - |s_z=-1/2>)

wobei der Faktor 1/sqrt(2) durch die Normierung hinzukommt. Analog findet man für die y-Komponente:

|s_y=+1/2> = 1/sqrt(2) (1,i) = 1/sqrt(2) (|s_z=+1/2> + i |s_z=-1/2>)
|s_y=-1/2> = 1/sqrt(2) (i,1) = 1/sqrt(2) (i |s_z=+1/2> + |s_z=-1/2>)

Nachrechnen:

1/2 ((0,-i),(i,0)) (1,i) = 1/2 (1,i)
1/2 ((0,-i),(i,0)) (i,1) = 1/2 (-i,-1) = -1/2 (i,1)

Und zum Nachprüfen nochmal für die z-Komponente:

1/2 ((1,0),(0,-1)) (1,0) = 1/2 (1,0) -> s_z=+1/2
1/2 ((1,0),(0,-1)) (0,1) = -1/2 (0,1) -> s_z=-1/2

Bedeuten tut das z.B., dass wenn man einen Spinzustand mit einer wohldefinierten Komponente in einer Richtung präpariert hat (z.B. z-Richtung), die Wahrscheinlichkeiten dafür, für die beiden dazu senkrecht stehenden Komponenten (x oder y) +1/2 oder -1/2 zu messen, jeweils 1/2 sind.

Wie sieht denn die einfachste Rechnung hierzu aus ?

siehe dazu

Was sagt die Quantenmechanik dazu?

Zu beachten ist, das sich da noch einige Verkomplizierungen ergeben. So misst man nicht mit Spin-1/2-Teilchen, sondern mit Photonen, mit dem Spin 1. Außerdem misst man nicht direkt eine Spinkomponente, sondern die Polarisationsrichtung. Diese hängt folgendermaßen mit der Spinkomponente in Ausbreitungsrichtung zusammen: eine Spinkomponenten von +1 oder -1 (bei einem Spin von 1 gibt es für jede Komponente prinzipiell die Möglichkeiten +1, 0 und -1, bei masselosen Teilchen fällt 0 als möglicher Wert aber weg, so dass es nur zwei Möglichkeiten gibt, ähnlich wie bei Teilchen mit Spin 1/2) würde eine zirkulare Polarisation bedeuten, was den Einsatz von Polfiltern erschweren würde, durch Superposition der Zustände +1 und -1 lässt sich aber ein Zustand mit linearer Polarisation herstellen.

[irony]

@ Halman: Ich denke, die Hauptschwierigkeit in der Quantenphysik ist, dass man nicht versteht, welche räumliche Ausdehnung Quantenobjekte haben. Da die Wellenfunktion (ihr Betragsquadrat) nur eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit angibt und das Doppelspaltexperiment zeigt, dass ein Elektron irgendwie durch beide Spalte geht, was es eigentlich nicht kann, ist wohl klar, dass man mit klassischen Vorstellungen nicht weiter kommt. Mit verschränkten Elektronen oder Photonen ist es nicht anders. Auch hier sind die Raumzeit-Vorstellungen das Problem, weniger die Teilchen und ihre Zustände selbst.

Die möglichen Werte +½ und –½ gelten nicht für den Spin selbst, der ist bei Elektronen immer +½

Damit meinst du vermutlich die Spinquantenzahl s, die aber selbst kein Eigenwert ist, wenn ich das richtig sehe.

So lässt sich der Zustand |s_x=+½> als Superposition der Zustände |s_z=+½> und |s_z=–½> bzw. |s_y=+½> und |s_y=–½> schreiben.

Wie sähe das dann aus und was bedeutet das ?

Neben (up,down) und (down,up) treten dann mit einer gewissen Häufigkeit auch die Resultate (up,up) und (down,down) auf, und diese Häufigkeit ist es, die über die Einhaltung oder Verletzung der Bellschen Ungleichung entscheidet.

Wie sieht denn die einfachste Rechnung hierzu aus ?

[Agent Scullie]

Der Spin eines Elektrons bspw. kann zwei mögliche Zustände haben: s = +½ bzw. –½. Der Gesamtzustand der Spinrichtung des Teilchenpaares beim EPR-Experiment muss gleich Null sein, weil die Teilchen ein Gesamtsystem bilden und quantenmechanisch korreliert (verschränkt) sind.

das alleine wäre ja noch gar nicht besonders spannend. Es wird aber noch komplizierter. Die möglichen Werte +½ und –½ gelten nicht für den Spin selbst, der ist bei Elektronen immer +½, sondern für die Spinkomponente in der Richtung, in der man gerade misst. Misst man z.B. die z-Komponente s_z, so kann diese s_z=+½ oder s_z=–½. Misst man dagegen die x-Komponete, so kann diese analog s_x = +½ oder s_x=–½ sein. Dabei gilt, dass die Eigenzustände für jede mögliche Spinkomponente s_x, s_y, s_z als Superposition aus zwei Eigenzuständen von einer der beiden anderen Komponenten dargestellt werden kann. So lässt sich der Zustand |s_x=+½> als Superposition der Zustände |s_z=+½> und |s_z=–½> bzw. |s_y=+½> und |s_y=–½> schreiben.

Beim EPR-Experiment, wie es von Alain Aspect realisiert wurde, ist es nun so, dass die Richtungen, in die man auf den beiden Seiten misst, unabhängig voneinander variiert werden. Es wird also nicht immer nur z.B. in z-Richtung gemessen, so dass immer das Set (up,down) oder (down,up) als Messwert herauskommt, sondern es wird etwa auf der einen Seite in z-Richtung gemessen und auf der anderen Seite in eine Richtung 30° gedreht zur z-Richtung. Neben (up,down) und (down,up) treten dann mit einer gewissen Häufigkeit auch die Resultate (up,up) und (down,down) auf, und diese Häufigkeit ist es, die über die Einhaltung oder Verletzung der Bellschen Ungleichung entscheidet.

[irony]

Das was Eintein abfällig als „spukhafte Fernwirkung“ bezeichnete, erschließt sich meinem bescheidenen Verstand einfach nicht. Ich verstehe die Verschränkung nicht.

So kompliziert ist das nicht: Zwei verschränkte Elementarteilchen bilden ein quantenmechanisches System, in dem die beiden Teilchen - auch über große Entfernungen - nicht mehr unabhängig voneinander sind (Wikipedia):

Die Quantenverschränkung (engl. quantum entanglement, selten Quantenkorrelation) ist ein physikalisches Phänomen aus dem Bereich der Quantenmechanik. Dabei können zwei oder mehr verschränkte Teilchen nicht mehr als einzelne Teilchen mit definierten Zuständen beschrieben werden, sondern nur noch das Gesamtsystem als solches.

Im Grunde heißt das, dass man die klassischen Raumzeit-Vorstellungen über Bord werfen muss. Was genau Raum und Zeit sind, versteht wohl niemand. Das geht vermutlich ganz allgemein über den menschlichen Verstand.

Rein mathematisch heißt Verschränkung wohl nur, dass man einen verschränkten Zustand |1,2> nicht als Produktzustand |1>|2> schreiben kann.

[Halman]

&quot;Spukhafte Fernwirkung&quot;

Nein, die Bell'schen Ungleichungen zeigen nur, das die Physik nicht gleichzeitig lokal und real sein kann.

Was davon nicht zutrifft, ist noch ungeklärt.

Die Bell'sche Ungleichung ist für mich totales Neuland.

Gehe ich recht in der Annahme, dass Du dich hier auf den Versuch beziehst, die verborgenen Parameter zu messen?

Laut meiner Lektüre gingen Einstein, Podolsky und Rosen von folgenden Definitionen aus

Zitat aus Skurrile Quantenwelt:

• Die Vollständigkeit: Von der Vollständigkeit einer Theorie spricht man dann, wenn jedem Element in der Realität genau eines in der physikalischen Theorie entspricht.
• Realitätskriterium: Eine physikalische Größe ist dann ein Element der Realität, wenn es mit Sicherheit vorausgesagt werden kann, ohne das System zu stören.

Das EPR-Paradoxon bereitet mir Kopfzerbrechen. Ich kann gut nachvollziehen, wieso Einstein, Podolsky und Rosen entschiedene Gegner der positivistischen Quantenmechanik von Bohr und Heisenberg waren. Das was Eintein abfällig als „spukhafte Fernwirkung“ bezeichnete, erschließt sich meinem bescheidenen Verstand einfach nicht. Ich verstehe die Verschränkung nicht.

Besonders interessiert mich das modifizierte EPR-Experiment von John Bell (Stern-Gerlach-Experiment), bei dem es nicht um die Lokalisierung von ∆x oder der Bestimmung des Impulses ∆p geht, sondern um die Messung der Spinrichtung.

Der Spin eines Elektrons bspw. kann zwei mögliche Zustände haben: s = +½ bzw. –½. Der Gesamtzustand der Spinrichtung des Teilchenpaares beim EPR-Experiment muss gleich Null sein, weil die Teilchen ein Gesamtsystem bilden und quantenmechanisch korreliert (verschränkt) sind. Wieso verstehe ich aber leider immer noch nicht, weil mir die „spukhafte Fernwirkung“ nicht einleuchtet.