Die Bedeutung von Unendlich & der "Null"

[irony]

Demzufolge ist die Schreibweise 0,99999... eine unzulässige Schreibweise für 1. Unser Dezimalsystem gibt diese Schreibweise aber her. Wenn ich drei mal 0,33333... addiere, erhalte ich 0,99999... (die angehängten drei Punkte sollen die Periode symbolisieren).

#0,33333...
+0,33333...
+0,33333...
_________
=0,99999...
========

Was ist an dieser Addition falsch?

Es ist alles eine Frage, wie die Zahlen und ihre Darstellung definiert sind. Wenn die Definition so ist, dass die Dezimaldarstellung eindeutig ist, kommt bei der Addition natürlich 1 heraus. Zahldarstellungen mit Neunerperioden sind im Grunde überflüssig.

[Halman]

Demzufolge ist die Schreibweise 0,99999... eine unzulässige Schreibweise für 1. Unser Dezimalsystem gibt diese Schreibweise aber her. Wenn ich drei mal 0,33333... addiere, erhalte ich 0,99999... (die angehängten drei Punkte sollen die Periode symbolisieren).

#0,33333...
+0,33333...
+0,33333...
_________
=0,99999...
========

Was ist an dieser Addition falsch?

Laut Wikipedia besteht eine Doppeldeutigkeit der Darstellung im Dezimalsystem. Darin heißt es:

Aus dieser Identität kann man weiter folgern, dass viele rationale Zahlen (nämlich alle mit endlicher Dezimalbruchentwicklung mit Ausnahme der 0) auf zwei verschiedene Weisen darstellbar sind: entweder eben als endlicher Dezimalbruch mit Periode 0, oder als unendlicher mit Periode 9. Um die Darstellung eindeutig zu machen, kann man die Periode 9 (oder seltener die Periode 0) jedoch schlicht verbieten und sich auf endliche Dezimalbrüche beschränken.

Mir ist nichts davon bekannt, dass die Schreibweise verboten wäre. Wenn dem so ist, hätte ich dafür gerne eine seriöse Quelle.

[Agent Scullie]

Was die Bedeutung von "Länge" angeht folgendes: wenn du irgendjemandem 2 m zeigst, wirst du von 99 % der Leute hören, es handelt sich um eine Länge mit 2 Metern. Das entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch der Länge. Eine Länge setzt sich im allgemeinen Sprachgebrauch aus der Einheit und dem Wert dazu zusammen und wenn du -2 m schreibst werden dir von den 99 % wiederum 99 % sagen, es handelt sich um eine negative Länge.

auf diese "Länge" wird aber kaum deine Aussage zutreffen, wir würden praktisch keine negativen Längen kennen, könnten aber theoretisch / rechnerisch / in der Vorstellung damit arbeiten.

Natürlich erwarte ich jetzt von dir, dass wieder sowas kommt wie "das entspricht aber keiner echten Länge",

na dann mal viel Spaß beim erwarten.

Weiterhin kann nichts greifbares so groß sein, dass es keine Möglichkeit gibt, festzustellen, ob es unendlich groß ist. Alles was man dazu benötigt, um es festzustellen ist schlicht und einfach unendlich viel Zeit - um zum Beispiel vom einen Ende, das es ja geben muss, zum anderen zu gelangen...

wenn du unendlich viel Zeit zulässt, haust du dir aber die Grundlage für deine These, das unendlich große sei praktisch nicht erreichbar, unter den Füßen weg.

- - - Aktualisiert - - -

@Agent Scullie
Unter der Gefahr, mich zu wiederholen oder die bisherigen Aussagen anderer:

Ich kann die Zahl 1 durch 3 teilen.
Das Ergebnis kann ich als 1/3 (Bruch) oder als Kommazahl 0,333... im 10er-System oder als 0,4 im 12er-System angeben.
Multipliziere ich die Zahl 1/3 mit 3, dann erhalte ich 1. Da sind uns noch einig denke ich.
Multipliziere ich die Zahl 0,33... mit 3, dann erhalte ich 0,99...

dass dem so wäre, habe ich bestritten. Du begründest also eine von mir angegriffene These mit der These selbst. Das ist Tautologie.

was ja nichts anderes als 1 ist. Hier sind wir uns glaube ich nicht mehr einig?

du errätst aber auch alles.

Multipliziere ich die Zahl 0,4 mit der 3 im 12er-System, erhalte ich 1. Hier sind wir uns auch einig glaube ich.
Wenn du die Existenz der Zahl 0,33.. akzeptierst, müsstest du auch die Zahl 0,99... akzeptieren.

ach ja, müsste ich das? Und warum sollte ich das müssen?

Daher nehme ich an, für dich ist nicht nur die Zahl 0,99... keine Zahl ist, sondern auch 0,33... keine Zahl ist.

interessant, was du so alles annimmst. Ist aber leider falsch, was du annimmst. Selbstverständlich ist (0,33...)_10 = (1/3)_10 = (1/3)_12 = (0,4)_12 eine Zahl. Hinweis: das ()_10 dient zur Kennzeichnung des Dezimalsystems, da du ja andere Zahldarstellungssysteme ins Spiel gebracht hast.

Es wäre auch interessant zu erfahren, warum deiner Meinung nach die 0,333... und 0,999... keine zahlen sind.

ich bin nicht der Meinung, dass (0,333...)_10 keine Zahl wäre. Dass (0,99...)_10 keine Zahl ist, liegt daran, dass es keine Zahl (0,999...)_10 gibt.

- - - Aktualisiert - - -

Es gilt \sum_{i=1}^\infty 9 * 10^(-i) = 0,999999999... per Definition.

nein, das gilt eben nicht per Definition. Per definition gilt, dass das n-te Folgeglied

a_n = \sum_{i=1}^n 9 * 10^(-i)

ist, daraus folgt, dass der Grenzwert der Folge

a = \sum_{i=1}^\infty 9 * 10^(-i)

ist, was = 1 ist.

Dies ist gleich 1, wie ich bewiesen habe.

das hast du nicht bewiesen, das hast du vorausgesetzt. Aus einer Voraussetzung abzuleiten, dass die Voraussetzung gilt, ist kein Beweis.

Du bist mir aber noch die Antwort auf die Frage schuldig, wer Dir erzählt hat, dass 0,999999... ungleich 3 * 0,333333... gilt.

niemand hat mir das erzählt. Ich vertrete auch gar nicht die Ansicht, dass 0,999... ungleich 3 * 0,333... wäre. Dazu müsste 0,999... ja erst einmal definiert sein, damit ein Vergleich mit einer Zahl (wie z.B. 3 * 0,333... = 1) möglich wäre.

[ChrisArcher]

eine These damit begründen zu wollen, dass sie natürlich gelten würde, ist kein zulässiger Beweis. Die Behauptung "Natürlich ist der Mond viereckig!" ist kein Beweis, dass der Mond viereckig sei.

Der Beweis jener Aussage steckt in meinen Ausführungen, die unter dem von Dir zitierten folgen.

nein, das gilt eben nicht. Es gilt a = 1. Etwas formaler gilt für die Glieder der Folge a_n:

a_n = \sum_{i=1}^n 9 * 10^-(i)

Der Grenzwert der Folge ist also die Reihe

\sum_{i=1}^\infty 9 * 10^-(i)

und die ist 1.

Es gilt \sum_{i=1}^\infty 9 * 10^(-i) = 0,999999999... per Definition. Dies ist gleich 1, wie ich bewiesen habe. Du bist mir aber noch die Antwort auf die Frage schuldig, wer Dir erzählt hat, dass 0,999999... ungleich 3 * 0,333333... gilt. Darauf hätte ich schon sehr gerne eine Antwort.

[bozano]

@Agent Scullie
Unter der Gefahr, mich zu wiederholen oder die bisherigen Aussagen anderer:

Ich kann die Zahl 1 durch 3 teilen.
Das Ergebnis kann ich als 1/3 (Bruch) oder als Kommazahl 0,333... im 10er-System oder als 0,4 im 12er-System angeben.
Multipliziere ich die Zahl 1/3 mit 3, dann erhalte ich 1. Da sind uns noch einig denke ich.
Multipliziere ich die Zahl 0,33... mit 3, dann erhalte ich 0,99... was ja nichts anderes als 1 ist. Hier sind wir uns glaube ich nicht mehr einig?
Multipliziere ich die Zahl 0,4 mit der 3 im 12er-System, erhalte ich 1. Hier sind wir uns auch einig glaube ich.
Wenn du die Existenz der Zahl 0,33.. akzeptierst, müsstest du auch die Zahl 0,99... akzeptieren. Daher nehme ich an, für dich ist nicht nur die Zahl 0,99... keine Zahl ist, sondern auch 0,33... keine Zahl ist.
Es wäre auch interessant zu erfahren, warum deiner Meinung nach die 0,333... und 0,999... keine zahlen sind.

[Spocky]

du sprichst von dir selbst.

Wenn du meinst...

Auf jeden Fall hast du das obige Problem immer noch begriffen, denn deine Antwort lautete gemäß Analogie, eine Banane hat keinen Mund.

Was die Bedeutung von "Länge" angeht folgendes: wenn du irgendjemandem 2 m zeigst, wirst du von 99 % der Leute hören, es handelt sich um eine Länge mit 2 Metern. Das entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch der Länge. Eine Länge setzt sich im allgemeinen Sprachgebrauch aus der Einheit und dem Wert dazu zusammen und wenn du -2 m schreibst werden dir von den 99 % wiederum 99 % sagen, es handelt sich um eine negative Länge. Dass du sowas nicht auf Wikipedia findest ist mir ebenfalls klar.

In unserer Analogie heit das, du zeigst ein Bild einer Banane allen Menschen, die Wissen, wie eine Banane aussieht und 99 % werden sagen, das ist eine Banane. die 1 % zu denen du gehörst werden sagen, das ist ein Bild einer Banane. Wenn du jetzt dieser Banane einen Mund malst werden 99 % derer, die das Bild als Banane bezeichnet haben immer noch sagen, es ist eine Banane und nur 1 % davon werden sie vielleicht als Banane mit Mund oder als Comicbanane bezeichnen.

Wenn du jetzt diese Banane mit Mund nimmst, dann kann sie auch einen Affen fressen, weil für diese Banane nicht mehr die Definition gilt, es muss sich um die biologische Frucht Banane handeln. Ebenso kannst du mit dem, was die meisten als Länge bezeichnen auch mit negativen Werten rechnen, weil für diese nicht die mathematische Definition Länge gilt, die du wunderbar runterbeten kannst und die der REALITÄT entspricht, von der ich dir gefühlt 200 Mal gesagt habe, dass wir sie nicht betrachten. Deine Definition ist alsao für unsere Betrachtung schnurzpiepegal. Das ist es, was ich mit "du bist zu sehr in der Realität verwurzelt" meinte. Für dich ist eine Banane nur dann eine Banane, wenn es sich um eine echte Frucht handelt und nicht um die Fotografie. Natürlich reagiert ein Bild einer Banane vollkommen anders auf physikalische Einflüsse wie eine echte. Das Bild einer Banane fängt zum Beispiel sofort feuer, andernfalls hast du eben eine gegrillte Banane.

Natürlich erwarte ich jetzt von dir, dass wieder sowas kommt wie "das entspricht aber keiner echten Länge", aber das interessiert nicht. Ich hab dir oft genug gesagt, dass wir hier nicht von einer echten Länge reden, sondern dass wir uns etwas nur vorstellen wollen.

Weiterhin kann nichts greifbares so groß sein, dass es keine Möglichkeit gibt, festzustellen, ob es unendlich groß ist. Alles was man dazu benötigt, um es festzustellen ist schlicht und einfach unendlich viel Zeit - um zum Beispiel vom einen Ende, das es ja geben muss, zum anderen zu gelangen...

Bei etwas nicht greifbarem wie einem Raum sieht die Sache schon etwas anders aus.

[Agent Scullie]

Wieso? 1/3 = 0,33333...
3 * 1/3 = 1
3 * 0,33333... = 0,99999...

Da ist kein Unterschied.

der These, dass da kein Unterschied sei, habe ich widersprochen. Gegen diesen Widerspruch durch simple Widerholung der These zu argumentieren, ist reine Tautologie.

- - - Aktualisiert - - -

Woher hast Du denn bitte diese Information? Natürlich gilt das!

eine These damit begründen zu wollen, dass sie natürlich gelten würde, ist kein zulässiger Beweis. Die Behauptung "Natürlich ist der Mond viereckig!" ist kein Beweis, dass der Mond viereckig sei.

Aber ich gebe Dir gerne noch einen anderen Beweis:

Wir definieren zwei Zahlenfolgen (a_n) und (b_n) für natürliche Zahlen n>0 durch

a_1 = 0,9; a_2 = 0,99; a_3 = 0,999 usw.
b_1 = 0,3; b_2 = 0,33; b_3 = 0,333 usw.

Es gilt: a_n = 3 * b_n für alle n.

Nun seien a und b die Grenzwerte der Folgen (a_n) bzw. (b_n). Die Funktion

f(x) = 3x

ist stetig, so dass f(b_n) gegen f(b) konvergiert, falls b_n gegen b konvergiert. Letzteres ist der Fall, es ist b = 1/3.

Nun ist f(b_n) = a_n, was gegen a konvergiert. Da Grenzwerte von Folgen, sofern sie existieren, eindeutig sind, folgt nun

a = f(b).

Nach Definition der obigen Folgen gilt a = 0,99999999...

nein, das gilt eben nicht. Es gilt a = 1. Etwas formaler gilt für die Glieder der Folge a_n:

a_n = \sum_{i=1}^n 9 * 10^-(i)

Der Grenzwert der Folge ist also die Reihe

\sum_{i=1}^\infty 9 * 10^-(i)

und die ist 1.

- - - Aktualisiert - - -

Natürlich ist 3*0,333... = 0,999...

die Argumentation "Natürlich ist..." ist kein Beweis.

Zumindest im Dezimalsystem

nicht im Dezimalsystem und auch in sonst keinem System.

[bozano]

der Beweis setzt als Prämisse voraus, dass

3 * 0,33333... = 0,99999...

gilt. Das tut es aber nicht.

Natürlich ist 3*0,333... = 0,999... Zumindest im Dezimalsystem
Aber es gilt...

Wieso? 1/3 = 0,33333...
3 * 1/3 = 1
3 * 0,33333... = 0,99999...

Da ist kein Unterschied.

die periodischen Zahlen entstehen durch Division und zeigen meist die "Schwachstelle" des Zahlensystems. Wenn man also anstelle des Dezimalsystems z.B. das Hexadezimalsystem verwendet, ergeben sich andere Werte bei den Perioden bzw. entstehen erst gar nicht. Lässt man die Zahl als Bruch, hat man eine Rationale Zahl, die einem nicht mehr so komisch vorkommt.
0,4 im 12er-System ist 0,33... im 10er-System. Es handelt sich also um die gleiche Zahl, allerdings in anderen Zahlensystemen.

[ChrisArcher]

der Beweis setzt als Prämisse voraus, dass

3 * 0,33333... = 0,99999...

gilt. Das tut es aber nicht.

Woher hast Du denn bitte diese Information? Natürlich gilt das! Aber ich gebe Dir gerne noch einen anderen Beweis:

Wir definieren zwei Zahlenfolgen (a_n) und (b_n) für natürliche Zahlen n>0 durch

a_1 = 0,9; a_2 = 0,99; a_3 = 0,999 usw.
b_1 = 0,3; b_2 = 0,33; b_3 = 0,333 usw.

Es gilt: a_n = 3 * b_n für alle n.

Nun seien a und b die Grenzwerte der Folgen (a_n) bzw. (b_n). Die Funktion

f(x) = 3x

ist stetig, so dass f(b_n) gegen f(b) konvergiert, falls b_n gegen b konvergiert. Letzteres ist der Fall, es ist b = 1/3.

Nun ist f(b_n) = a_n, was gegen a konvergiert. Da Grenzwerte von Folgen, sofern sie existieren, eindeutig sind, folgt nun

a = f(b).

Nach Definition der obigen Folgen gilt a = 0,99999999... und b = 0,33333333... . Somit folgt

0,99999999... = 3 * 0,33333333... .

[Halman]

Wieso? 1/3 = 0,33333...
3 * 1/3 = 1
3 * 0,33333... = 0,99999...

Da ist kein Unterschied.

[Agent Scullie]

Es gibt die Zahl 0,999999999999999...,
es ist nämlich 0,999999999... = 1.

Der Beweis: 0,999999999... = 3 * 0,33333333333... = 3 * (1/3) = 1.

der Beweis setzt als Prämisse voraus, dass

3 * 0,33333... = 0,99999...

gilt. Das tut es aber nicht.

[Halman]

@ChrisArcher


Ist ja auch einleuchtend.

[ChrisArcher]

Es gibt die Zahl 0,999999999999999...,
es ist nämlich 0,999999999... = 1.

Der Beweis: 0,999999999... = 3 * 0,33333333333... = 3 * (1/3) = 1.

[Agent Scullie]

Also ich hab in der Schule gelernt, dass die Zahlen so ausgesprochen werden, wenn man z. B. eine 0,99999999999999999........ hat.

also falls man dir auf der Schule tatsächlich beigebracht hat, dass es eine Zahl 0,9... gibt, dann mache ich mir ernsthafte Sorgen um den Kenntnisstand deiner Lehrer.

Ich denke auch, du weißt genau, was gemeint war, aber da du immer nur auf solche Formfehler achtest,

dass es die Zahl 0,9... nicht gibt, ist allerdings kein Formfehler.

ist es verdammt mühsam, mit dir zu diskutieren. Meinetwegen sagst du nullkommaneunperiode,

du kannst diese "Zahl" noch so umbenennen, es gibt sie trotzdem nicht.

Wenn dir wirklich was an der Diskussion liegen würde, dann würdest du mir wenigstens bei solchen Dingen ein Stück weit entgegenkommen,

die Zahl, von der du sprichst, gibt es nicht - da gibt es nichts entgegenzukommen.

aber alles, woran dir liegt, ist, deinen Standpunkt durchzusetzen. Der Rest interessiert dich nicht.

du sprichst von dir selbst.

[Spocky]

Also ich hab in der Schule gelernt, dass die Zahlen so ausgesprochen werden, wenn man z. B. eine 0,99999999999999999........ hat. Ich denke auch, du weißt genau, was gemeint war, aber da du immer nur auf solche Formfehler achtest, ist es verdammt mühsam, mit dir zu diskutieren. Meinetwegen sagst du nullkommaneunperiode, das ist mir egel, oder was auch immer. Wenn dir wirklich was an der Diskussion liegen würde, dann würdest du mir wenigstens bei solchen Dingen ein Stück weit entgegenkommen, aber alles, woran dir liegt, ist, deinen Standpunkt durchzusetzen. Der Rest interessiert dich nicht. Das finde ich sehr schade und traurig.