Die Bedeutung von Unendlich & der "Null"

[Spocky]

Wenn das stimmt, dann ist dein Satz:
falsch.

Im mathematischen Sinn hast du damit Recht, ja

Man kann somit nicht mal beweisen, dass 0 Äpfel gleich 0 Äpfel sind.

[ChrisArcher]

OK, ich habe eben erst diesen Thread hier entdeckt und werde mich nun mal einklinken.

Die 0 ist per Definition ein neutrales Element bezüglich der Addition, also als ein Element, welches für alle reellen Zahlen x die Eigenschaft

x + 0 = x

erfüllt. Nun zur Eindeutigkeit der 0:

Sei 0 und 0' neutrale Elemente bzgl. der Addition. Dann gilt:

(1) x + 0 = x
(2) x + 0' = x

Da die rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) übereinstimmen, folgt

x + 0 = x + 0'.

Nun subtrahieren wie x von beiden Seiten der Gleichung und erhalten

0 = 0'.

Nun zu der Frage, warum man nicht durch 0 teilen darf. Hierzu kann ich zwei Erklärungen geben.

1. x/0 ist der Grenzwert von x/a für a -> 0. Dieser ist aber \infty, falls x > 0, und für x < 0 ist er -\infty. Beides sind aber keine Zahlen.

2. Die formale Erklärung:

Neben der 0 als neutrales Element der Addition gibt es die 1 als neutrales Element bzgl. der Multiplikation, also als Element, welches für alle x Eigenschaft

x * 1 = x

erfüllt. Nun definiert man x^{-1} als das zu x Inverse Element bzgl. der Multiplikation, also als Element mit der Eigenschaft

x * x^{-1} = x^{-1} * x =1,

falls solch ein Element existiert. Diejenigen Elemente x, welche ein inverses Element besitzen, heißen Einheiten.

Für die reellen Zahlen IR (also den Zahlen auf dem klassischen aus der Schule bekannten Zahlenstrahl) gilt, dass jedes x ungleich 0 eine Einheit in IR besitzt, die 0 aber eben nicht. In den reellen Zahlen ist x^{-1} = 1/x.

Fazit: Wir dürfen deshalb nicht durch 0 teilen, weil es keine reelle Zahl x gibt mit der Eigenschaft

0 * x = 1.

Anmerkung zu meinen Ausführungen:

Ich habe das Ganze jetzt für die reellen Zahlen ausgeführt, aber für andere Zahlensysteme gilt dies alles analog. Die Einzige Ausnahme ist, dass es in anderen Zahlensystemen natürlich noch andere Elemente x ungleich 0 geben kann, durch die man nicht teilen darf.

[Tibo]

OK, du willst es nicht kapieren, dann beweis ich es dir eben:

Ersetzen wir mal ganz allgemein Zahlen durch einen Platzhalter:
X=X

Dann lösen wir das ganze nach X auf:
X/X=1

Das Ergebnis zeigt, dass alle Zahlen mit sich selbst identisch sind, außer einer einzigen:
Für die Zahl 0 ist das Ergebnis nicht definiert, weil der "Nenner nie Null" sein darf.

Wenn das stimmt, dann ist dein Satz:

0 kg und 0 g sind dasselbe.

falsch.

[Spocky]

OK, du willst es nicht kapieren, dann beweis ich es dir eben:

Ersetzen wir mal ganz allgemein Zahlen durch einen Platzhalter:
X=X

Dann lösen wir das ganze nach X auf:
X/X=1

Das Ergebnis zeigt, dass alle Zahlen mit sich selbst identisch sind, außer einer einzigen:
Für die Zahl 0 ist das Ergebnis nicht definiert, weil der "Nenner nie Null" sein darf.

Du hast noch niemals in deinem Leben 0 Äpfel gesehen, du hast überhaupt keine Ahnung, was 0 Äpfel für Eigenschaften haben. 0 Äpfel existieren nämlich gar nicht, genausowenig, wie es das Ergebnis X/X tut, wenn X=0 ist. Es ist ganz einfach.

[Tibo]

So lange du nicht beweisen kannst, dass 0 = 0 ist, hast du gar nichts widerlegt und dir wird jeder Mathematikprofessor bestätigen, dass du das nicht kannst.

Ich habe defintiv bewiesen, dass sich null Äpfel von null Birnen anders unterscheiden als 1 Apfel von 1 Birne. Oder zweifelst du alle meine Aussagen darüber an?
1 Apfel und 1 Birne wiegen nicht unbedingt das selbe 0 Äpfel und 0 Birnen schon. Sie unterscheiden sich also bestenfalls anders von einander. Du hast aber behauptet sie unterschieden sich von einander gleichermaßen ("genauso"). Das habe ich widerlegt.
Wieso sollte mir eine Matheprofessor widersprechen wenn ich sage 0=0?

[Spocky]

So lange du nicht beweisen kannst, dass 0 = 0 ist, hast du gar nichts widerlegt und dir wird jeder Mathematikprofessor bestätigen, dass du das nicht kannst.

0 Äpfel und 0 Birnen kommen nicht in der Natur vor. Du kannst also gar nicht wissen, was die für eigenschaften haben.

[Tibo]

Dann beweis das doch mal. Beweis mir mal, dass 0 Äpfel anders riechen als 1 Apfel und bring bloß keine Luft vorbei, das ist nämlich was ganz anderes

Luft wirst du vor Ort haben und ich denke ich könnte es empirisch belegen.
Aber wenn du eine Apfel, eine Birne, null Äpfel und null Birnen wiegst oder in einen Fingerhut zu stecken versuchst wirst du sehen, dass sich ein Apfel und eine Birne auf andere Weise unterscheiden als null Äpfel und null Birnen. Womit deine Aussage:

0 Äpfel und 0 Birnen unterscheiden sich genauso wie 1 Apfel und 1 Birne.

widerlegt ist. Sie unterscheiden sich eben nicht genauso.

- - - Aktualisiert - - -

0 kg und 0 g sind dasselbe. Das ist ganz eindeutig, denn 1000 g sind dasselbe wie 1 kg

Einheiten bedeuten doch eigentlich x mal 1 Einheit. Und 0 mal egal was ist 0.

[Spocky]

Dann beweis das doch mal. Beweis mir mal, dass 0 Äpfel anders riechen als 1 Apfel und bring bloß keine Luft vorbei, das ist nämlich was ganz anderes

[Tibo]

0 Äpfel und 0 Birnen unterscheiden sich genauso wie 1 Apfel und 1 Birne.

Das stimmt nicht. 0 Äpfel und 0 Birnen wiegen immer gleich viel sie unterscheiden sich auch nicht im Farbspektrum das sie reflektieren, sie unterscheiden sich nicht in der Form, sie nehmen den exakt gleichen Raum ein, sie schmecken und riechen sogar gleich.
1 Apfel und 1 Birne tun das alles in der Regel nicht.

[Spocky]

0 kg und 0 g sind dasselbe. Das ist ganz eindeutig, denn 1000 g sind dasselbe wie 1 kg

Durch 0h darfst du nicht teilen, weil das bedeuten würde, irgendetwas wäre schneller als das Licht und das verbietet die Relativitätstheorie

0 Äpfel und 0 Birnen unterscheiden sich genauso wie 1 Apfel und 1 Birne.

[Tibo]

Daher macht es sehr wohl einen unterschied welche Einheiten vorliegen

Dass das nicht zwangsläufig so ist hast du doch gerade selbst gesagt.
Also wer hat mehr Geld ich mit 0€ oder meine Schwester mit 0 Kilo Geld?

[Physicus91]

Ich sehe keinen qualitativen Unterschied. Siehst du einen bei 0€ und 0$? Wenn Einheiten einen Unterschied machen kannst du es mir sicher auch an diesem Beispiel plausibel machen.
Also ganz plakativ wer hat worin liegt der qualitative Unterschied zwischen mir, der 0 Liter Wasser hat und meiner Schwester, die 0 Kilo Wasser hat?

Das ist nicht ganz richtig.
In dem zitat auf dem du dich bezogen hast, waren von Metern und Euro die rede, zwei unterschiedliche Einheitenklassen, nämlich Länge und Währung.
In sämmtlichen deiner Beispiele jedoch waren diese Einheitenklassen immer Gleich.

€ und $ zu währung
Liter und Kilo zu Menge

Während man bei selben Einheitenklassen durchaus rechnen kann.
IN dienem Beispiel wäre 20 € mal 0$ immer ncoh 0 $ oder €, je nachdem wie man umrechnet.

Bei unterschiedlichen Einheitenklassen, die sich nicht ineinander umrechnen lassen ist eine Rechnung wie 20x0 fast immer unlösbar

Daher macht es sehr wohl einen unterschied welche Einheiten vorliegen

[Tibo]

In allen Fällen kommt natürlich nichts raus. Ich wollte auf die Einheit hinaus. Es ist schon ein qualitativer Unterschied, ob ich von 0 Metern oder 0 Euro spreche.

Ich sehe keinen qualitativen Unterschied. Siehst du einen bei 0€ und 0$? Wenn Einheiten einen Unterschied machen kannst du es mir sicher auch an diesem Beispiel plausibel machen.
Also ganz plakativ wer hat worin liegt der qualitative Unterschied zwischen mir, der 0 Liter Wasser hat und meiner Schwester, die 0 Kilo Wasser hat?

Wie sollte das funktionieren?

Ja das war Schwachsinn, ich würde jetzt gern sagen ich war voll war ich aber nicht.

[Halman]

Wieso das denn?
Sind dann auch 0 kg was anderes als 0 g?
Oder anders gesagt: Wenn ich dir 0 Äpfel, 0 Birnen, 0m Stoff und 0 € gebe kannst du mir dann sagen in welcher Reihenfolge ich das gemacht habe? Worin unterscheiden sich denn 0 Äpfel von 0 Birnen?

In allen Fällen kommt natürlich nichts raus. Ich wollte auf die Einheit hinaus. Es ist schon ein qualitativer Unterschied, ob ich von 0 Metern oder 0 Euro spreche.

Wenn 0h etwas anderes ist als 0 warum darf ich dann nicht durch 0h teilen?
Gibt es ne Regel die das verbietet?

Wie sollte das funktionieren?

[Tibo]

Hm - da hast Du recht. 0,0 m sind ungleich 0,0 €.

Wieso das denn?
Sind dann auch 0 kg was anderes als 0 g?
Oder anders gesagt: Wenn ich dir 0 Äpfel, 0 Birnen, 0m Stoff und 0 € gebe kannst du mir dann sagen in welcher Reihenfolge ich das gemacht habe? Worin unterscheiden sich denn 0 Äpfel von 0 Birnen?
Wenn 0h etwas anderes ist als 0 warum darf ich dann nicht durch 0h teilen?
Gibt es ne Regel die das verbietet?